高分悬赏：Java语言如何编写程序判断2的n次方-1是不是质数

Question

从键盘输入n，计算2的n次方-1是不是质数
如果是，输出yes，如果不是，输出no
比如输入：859433
输出yes

Answer 1

2的n次方就是1<<n(1左移n位的二进制数)，2的n次方减1的二进制位都是1，从中受到启发，貌似发现了一个规律
如果该二进制数的1的串刚好被分成相同长度的2个1以上的子串的组合，则该数不是质数，否则，该数是质数（即二进制数的1的串不能分成相同长度的2个1以上的子串的组合）
比如
2的2次方-1=3的二进制11（有2个1的串），不能分成2个1以上的子串的组合，所以是质数
2的3次方-1=7的二进制111（有3个1的串），不能分成2个1以上的子串的组合，所以是质数
2的4次方-1=15的二进制1111（有4个1的串），能分成2个1以上的子串的组合（即1111可由2组11组合），所以不是质数
2的5次方-1=31的二进制11111（有5个1的串），不能分成2个1以上的子串的组合，所以是质数
2的6次方-1=63的二进制111111（有6个1的串），能分成2个1以上的子串的组合（即111111可由2组111，3组11组合）
2的7次方-1=127的二进制1111111（有7个1的串），不能分成2个1以上的子串的组合，所以是质数
2的8次方-1=255的二进制11111111（有8个1的串），能分成2个1以上的子串的组合（即11111111可由2组1111，4组11组合）
2的9次方-1=511的二进制111111111（有9个1的串），能分成2个1以上的子串的组合（即111111111可由3组111组合）
2的10次方-1=1023的二进制1111111111（有10个1的串），能分成2个1以上的子串的组合（即1111111111可由5组11组合）
等等
所以变相的改成判断二进制数有几个1组成即可，即质数个1，也就是n是质数的时候，2的n次方-1也是质数，结果发现和LS说的规律一样
剩下还有什么规律还有待挖掘，不过上述的规律可以递归利用，或许在一定程度上可以优化一下

public class Sample {
    public static void main(String[] args) {
        //Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //int num = sc.nextInt();
        int num = 859433;
        //int num = (1<<31)-1;
        long t1 = System.currentTimeMillis();
        boolean b = isPNum(num);
        long t2 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(t2-t1 + "=" + b);
        t1 = System.currentTimeMillis();
        b = isPNum2(num);
        t2 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(t2-t1 + "=" + b);
    } 

    public static boolean isPNum(int num) {
        if (num==2) return true;
        else if (num<2 || num%2==0) return false;
        int tmp = num, n = 0;
        while (tmp>0) { //算出n
            n++;
            tmp >>= 1;
        }
        if (num==(1<<n)-1) {
            return isPNum(n); //利用规律递归，判断num是否符合2的n次方减1
        }

        for (int i=3; i<=(1<<((n+1)/2)); i++) { //走到这里必然是奇数，所以for从3开始即可
           if (num%i==0) return false; 
        }
        return true;
    }

    public static boolean isPNum2(int num) {
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++)
            if (num % i == 0)
                return false;
        return num>1;
    }
}

以后有时间再研究一下质数还有什么规律（比如从分解成2n次方之和的角度考虑）