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Question

题目描述: 目前我有一个正方体，边长为N，我以单位1为边长，将正方体分割成N*N*N个单位正方体，请问里面有多少对正方体公共点不大于2？
当N＝1，有0对，当N＝2，有16对，当N＝3，有297对，给出关于N的公式。

Answer 1

题主关于第一个第二个第三个的答案是正确的，注意公共点不大于2，也就是说公共点允许0、1、2这三种情况，根据实际情况其实只需要满足方块之间没有公共面即可满足条件。
所以，下面给出我的推论过程：
N=1，显然，0对
N=2，形状如下图（丑点忍着看吧，ps纯手工画的）

可以看到，由8个角上的小方块组成，那么我们开始数面，对于每个小方块来说，与其他小方块连接的面均是3，那么我们任意选定一个小方块，将该小方块和与该小方块面相接触的小方块排除的话，那么我们就会剩下2*2*2-（3 + 1）=4 也就是4个小方块，也就是说，剩下四个小方块与所选定的小方块之间是满足公共点不大于2的条件的，那么对于8各小方块，我们总共就有，4*8=32种，排除重复的（以A方块为基准的时候选择到了B方块，以B方块为基准的时候选择到了A方块，但是实际上，两个只能算一对）要除以2，所以，最终结果是 32/2=16
N=3,形状如下图（还是依旧那么丑）

这种情况比较有意思，可以按照邻接的面的数量分成四类小方块，
第一类：8个角上的，有8个小方块，每个小方块邻接的面数为3，也就是说，这类小方块将会挖走4个小方块（自己一个，邻接的三个），剩下的与它全部满足条件，按照总数为3^3=27的话，那么满足条件的小方块为 27-4=23个，好的，这个结果先放着
第二类：12条边上的，有12个小方块，每个小方块邻接的面数为4，这类小方块将会挖走5个小方块（自己一个，邻接的四个），剩下的与它全部满足条件，那么满足条件的小方块为 27-5=22个，这个结果也放着
第三类：6个面心（在外面能看到的不属于边也不属于角上的），共6个，每个小方块邻接的面数为5，这类小方块将会挖走6个小方块，同理满足条件的小方块数为 27-6=21个
第四类：中心处（其实就是在外面看不到的小方块），共1个，每个小方块邻接的面数为6，这类小方块将会挖走7个小方块,与之满足条件的小方块个数为27-7=20个。
好的，有了这四类小方块，对应的个数以及每类小方块所挖走的方块的数量之后，那么我们就可以按照N=2时候的思路，列出如下的式子：
(8*23 + 12*22+6*21+20)/2=297
式子可以整理一下：
(8*（3^3-4）+12*1*(3^3-5)+6*(1^2)*(3^3-6)+(1^3)*(3^3-7))/2=297

N=4,我就不画图了，大家可以脑洞一下。
这种情况下，小方块实际上还是分为4类，这4类和在N=3的时候给出的一样，但是这个数量不一样，我直接给出各个类对应的数量：
第一类：8个角，8个小方块
第二类：12条边，每边2个小方块，所以12*2 = 24个
第三类：6个面，每面4个，所以 6 * （2^2）=24 个
第四类：4*4*4-8-24 - 24 = 8 个，排除法嘛，其实就是 （2^3）=8 个，
所以嘛，和N=3的时候也一样，列出的式子就是：
(8*（4^3-4）+12*2*(4^3-5)+6*(2^2)*(4^3-6)+(2^3)*(4^3-7))/2=1 872

N=5类推。。。。。
所以归类就出来了：
N=1 满足条件的对数为：0
N>1 满足条件的对数为：(8*(N^3-4)+12*(N-2)*(N^3-5)+6*((N-2)^2)*(N^3-6)+(N-2)^3*(N^3-7))/2