元素可重复的组合的问题

Question

有n个不同数，在其中取m个数组成一个集合，可重复取，有多少种取法，这个怎么算呢？
如 0，1，2 三个数，取3个数的集合有
｛0，0，0）
｛0，0，1｝
｛0，0，2｝
｛0，1，1｝
｛0，1，2｝
｛0，2，2｝
｛1，1，1｝
｛1，1，2｝
｛1，2，2｝
｛2，2，2｝

Answer 1

前面的回答太繁琐了。有一种更简单的方法（隔板法）。
假设你要在n个数里面重复取m次，就可以设想下面一种场景：取n+m-1个位置，其中n-1个位置放上隔板，其他的m个位置放上小球。这样，m个小球就被隔板分成了n份（可能有一份中没有小球的情况）。
从左到右的n份中的小球数目，就对应着原问题的n个数各取了多少次，总共m个小球，表示m次。
这样，问题的答案就是n+m-1个数里面取n-1个数，这个组合数。可以记作C(n+m-1,n-1)
例如3个数取3次，就有C(3+3-1, 3-1)=10种取法。
你举出的{0,1,2}这种组合，对应着3个数各取1次，在隔板法里就对应着"球-板-球-板-球"，而（0,0,2）这种组合，就是“球-球-板-板-球”（0取了2次，对应左边有2个球。1取了0次，对应中间两个板之间没有球。2取了1次，对应右边有一个球）。