我以前也遇到过这个问题啊，自定义Dialog继承自AlertDialog，没有办法弹出软键盘，后来只改了一个地方，用Dialog，软键盘就出来了。AlertDialog源码中本身有代码禁用了软键盘，因为AlertDialog本身是没有输入框的，android本意就是让我们自定义对话框的时候选择Dialog。
你这一句：final Dialog dialog = new AlertDialog.Builder(mContext).create();
可以直接new Dialog(context)试一试看

你可以参考下我以前写的代码，很乱，几年写的=.=
// 登录的提示框
private void showDL(){
final Dialog dig = new Dialog(this);
dig.show();
Window window2 = dig.getWindow();
/*
*这个方法无法弹出软键盘
*final AlertDialog dlg = new AlertDialog.Builder(this).create();
*dlg.show();
*Window window = dlg.getWindow();
*/
// 自定义的dialog布局
window2.setContentView(R.layout.denglu_ttishikuang);

    final EditText edt_dl = (EditText) window2.findViewById(R.id.tsk_et_zh);
    final EditText edt_mm = (EditText) window2.findViewById(R.id.tsk_et_mm);
    Button btn_qx = (Button) window2.findViewById(R.id.tsk_but_qx);
    Button btn_dl = (Button) window2.findViewById(R.id.tsk_but_dl);
    TextView tv_zhuce = (TextView) window2.findViewById(R.id.tsk_tv_zhuce);

    btn_dl.setOnClickListener(new OnClickListener() {
        public void onClick(View arg0) {
            // 登录操作
            String zhanghao = edt_dl.getText().toString();
            String password = edt_mm.getText().toString();
            LoginDL(zhanghao, password);
            dig.cancel();
        }
    });
    btn_qx.setOnClickListener(new OnClickListener() {
        public void onClick(View arg0) {
            // 取消操作
            dig.cancel();
        }
    });
    tv_zhuce.setOnClickListener(new OnClickListener() {
        public void onClick(View arg0) {
            // 注册操作
            Intent intent = new Intent(MainActivity.this, ZhuCe.class);
            startActivity(intent);
        }
    });
}

希望能帮到你啊

Popwindow和editText的焦点冲突问题,可能导致弹不出软键盘,你可以强制弹出软件盘来解决这个问题