1/8圆的贝塞尔曲线的m值怎么换算？

Question

一般的情形是用贝塞尔曲线画一个1/4的直径是1的圆，但是我想划分成1/8的圆，那图片中的M值是多少？怎么换算

Answer 1

如图，我们以P0为起点，P3为终点画圆。因此起点坐标为(0,1)，终点坐标为(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)。P1坐标为(m,1)。
根据对称性，|P2P3|=|P0P1|=m。同时直线P2P3和圆相切，斜率为-1，解得P2(sqrt(2)*(1-m)/2,sqrt(2)*(1+m)/2)。
曲线方程为
x(t) = 3*t*(1-t)^2*m + 3*t^2*(1-t)*sqrt(2)*(1-m)/2 + t^3*sqrt(2)/2
y(t) = (1-t)^3 + 3*t*(1-t)*2 + 3*t^2*(1-t)*sqrt(2)*(1+m)/2 + t^3*sqrt(2)/2
t=1/2对应的点应为劣弧P0P3的中点，中点坐标为(cos(3pi/8),sin(3pi/8))，因此

sqrt(2-sqrt(2))/2 = cos(3pi/8) = x(1/2) = (3/8-3*sqrt(2)/16)*m+sqrt(2)/4，

解得
m=(sqrt(2-sqrt(2))/2-sqrt(2)/4)/(3/8-3*sqrt(2)/16)=0.2652