算法问题：考察二分查找的平均成功查找长度和平均失败查找长度的关系，请看图

Question

其中有一个不懂的地方是为什么Ctn-1失败情况x对应的查找长度为d,然后Ctn中成功情况x对应的查找长度就为d-2？如果可以的话能结合比较树模型讲解一下过解题程（这里的解题过程不太明白）

Answer 1

看数据结构书的时候碰上的内容，我自己将它化成关于级数的题，然后自己算的过程，基本就是等比级数和等差级数的混合内容。
满二叉树来分析折半查找的平均长度

h=层高 n=节点数
[]为计算过程的式

先算总查找次数
1*1+2*2+3*4+4*8...(h-1)*2^(h-2)+h*2^(h-1) ………………[1]

[1]*2:

1*2+2*4+3*8+4*16...(h-1)*2^(h-1)+h*2^h ……………………[2]

[2]-[1]:
[1]*2-[1]=[3]:
[1]=[3]:

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1)+h*2^h ……………………… [3]

[4]+h*2^h=[3]…………………………………………………………………………[3.1]

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1) ……………………………………… [4]

[4]*2-[4]=[5]=[4]

-2^h+1 …………………………………………………………………………………… [5]

因为[5]=[4]，所以把[5]代入[3.1]可以得到下面的结果
[3]=[5]+h*2^h = -2^h+1+h*2^h=(h-1)*2^h+1

由于 (n+1=2^h)，所以有

[3]=(n+1)log(n+1)-(n+1)+1
=(n+1)log(n+1)-n

最后，来求查找次数平均数
[3] /n = ((n+1)log(n+1)-n)/n

最终，平均查找长度约等于log(n+1)-1

上面的所有对数log的底数皆为2.