断点未知的分段函数拟合问题。

Question

如文献中的形式，有数据集（f（t），t），拟合公式中的其它系数。

结果最后拟合出两个断点。

注数据点的分布都很规律，皆在下图拟合曲线附近分布。

结果如上图，我尝试过用logistic函数来分段拟合，子成分的形状结果不好

Answer 1

以下回答参考 皆我百晓生、券券喵儿 等免费微信小程序相关内容作答，并由本人整理回复。

要解决这个问题，我们可以使用一些数学和编程技巧。首先，我们需要定义我们的目标函数 ( f(x) )，然后根据给定的数据集来求解最优的参数 ( a_i ) 和 ( b_i )。以下是一个基本的方法：

步骤 1: 定义目标函数和损失函数

对于 ( f(x) = ax + b )，我们希望找到 ( a_i ) 和 ( b_i ) 来使整个序列尽可能接近于给定的数据集。因此，我们将损失函数定义为：

[ L(a_i, b_i) = \sum_{i=1}^{n}(f(x_i) - fp_i - fa_i)^2 ]

其中 ( n ) 是数据集的长度，( x_i ) 是第 ( i ) 个数据点，( fp_i ) 是 ( f(x_i) ) 的预测值，而 ( fa_i ) 是 ( f(x_i) ) 的实际值。

步骤 2: 求解优化问题

为了求解上述优化问题，我们可以使用梯度下降法或更复杂的优化算法，例如牛顿法或者遗传算法。这里我们简化一下讨论，并直接给出一个简单的迭代方法：

1. 初始化：选择初始的 ( a_1 ), ( b_1 ) 值，可以是任意数。

2. 迭代：

   • 对每个数据点 ( (x_i, f(x_i)) )，计算其对应的预测值 ( fp_i ) 和实际值 ( fa_i )。
   • 计算损失函数 ( L(a_i, b_i) )。
   • 根据损失函数对 ( a_i ) 和 ( b_i ) 进行更新：
     • 对于 ( a_i ): [ a_{i+1} = a_i - \alpha \frac{\partial L}{\partial a_i} ]
     • 对于 ( b_i ): [ b_{i+1} = b_i - \alpha \frac{\partial L}{\partial b_i} ]
   • 重复步骤 2a 和 2b 直到达到预定的最大迭代次数或满足收敛条件。

注意：以上示例仅给出了一个简单的迭代过程，具体实现时可能需要考虑更多细节，比如避免局部极小化、处理非线性约束等。

步骤 3: 预测新数据点

对于新的数据点 ( x )，可以通过计算其预测值 ( fp(x) ) 来得到相应的预测值。

结论

通过上述步骤，我们可以有效地从给定的数据集中学习最佳的参数 ( a_i ) 和 ( b_i )。需要注意的是，这个过程可能会涉及到大量的数值计算，特别是在高维空间中。此外，由于这是一个非常典型的优化问题，许多现代编程语言都提供了强大的优化库，可以帮助快速执行这些计算。