数学近似推导：香农公式近似推导？

Question

 原公式：

当SNR较大时，近似为：

请问是怎么近似的，不是很懂。

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

当信噪比(SNR)较大时，我们可以对原公式进行近似。具体来讲，我们可以利用泰勒展开式对原公式进行近似。泰勒展开的表达式为： \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + \cdots \] 其中，\( f'(x) \)是函数\( f(x) \)在点\( x \)处的导数，\( f''(x) \)是函数\( f(x) \)在点\( x \)处的二阶导数，以此类推。 对于原公式中的分母部分\(1+\frac{1}{\text{SNR}}\)，我们可以利用泰勒展开式近似为： \[ 1+\frac{1}{\text{SNR}} \approx 1 - \frac{1}{\text{SNR}} \] 这个近似的原理是当SNR较大时，我们可以忽略高次幂项，从而简化计算。 举例来说，当SNR=10时，原公式中的分母部分可以近似为： \[ 1 + \frac{1}{10} \approx 1 - \frac{1}{10} = 0.9 \] 这个近似值可以在实际计算中代替原公式中的分母，从而简化计算。 如果需要使用Python代码来进行近似计算，可以使用如下代码片段：

def approximate_SNR(SNR):
    approximated_denominator = 1 - 1/SNR
    return approximated_denominator
SNR = 10
result = approximate_SNR(SNR)
print("Approximated denominator at SNR=10:", result)

通过这段代码，我们可以得到当SNR=10时，近似的分母值为0.9。