数学建模关于用料最省问题和容器中的水高度随时间变化问题

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Answer 1

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1、建立正确模型： 本题是一个典型的物理问题，可运用质量守恒定律和伯努利定理建立模型。 质量守恒定律：容器内的水体积在流动前后不变，即 S×h=const， 其中S为水面横截面积，h为水面高度。 伯努利定理：对于理想流体，在流动的过程中，速度越大，压力越小，即 P+1/2ρv²+ρgh=const， 其中，P为压力，ρ为密度，v为速度，g为重力加速度，h为高度。 在本题中，小孔横截面积为1cm²，水密度为1000 kg/m³，设小孔处速度为v，则有 1cm²×v×ρ=const， 对于半球形容器，令底部圆周积分处的速度为$v_1$，水面高度为$h$，则有 1/2πR²×v₁=πR²∫（0到h）v dh， 即 v₁/2=∫（0到h）v dh， 联立上述两式可得 v₁=2v= 2gh， 代入伯努利定理中可得 P+1/2ρv²+ρgh=const， 化简即可得 h(t)=H(1-t²)， 其中，H为初始水面高度（1m），t为时间，时间从0开始，取值范围为0~1。 案例：如果流出时间为0.5秒，求此时水面高度。 解：根据模型，此时t=0.5，代入可得 h(0.5)=1(1-0.25)=0.75（m）。 2、建立正确模型： 在该问题中，需要考虑下料长度，保证原料的最小浪费。对于给定的钢材长度6.9m，我们可以先计算出其中可以切割出多少个2.9m，多少个2.1m，多少个1m。对于每一个切割长度，我们可以尽量将其切割成1m的长度，这样更容易组合出所需的钢架。具体建模如下： 设2.9m钢材切割成P个1m长和Q个0.9m长（0.9为2.9-1个长度），2.1m钢材切割成R个1m长和S个0.1m长，1m钢材切割成T个1m长。则有如下方程组： P+R+T<=100 0.1Q+0.1S<=0.9P 0.1Q+0.1S<=1.1R P,Q,R,S,T为非负整数。 其中第一行限定了总共切割的钢材数量，第二行和第三行分别限定了0.9m的剩余长度是否够用，从而保证使得原材料最省。 然后我们可以列出所有可能的情况进行穷举，求出所需原材料最小的情况，得到最终结果。 如果要限定下料方式不超过三种，可以在建立模型时增加一个变量，限定P+R+T的取值范围。具体操作可见下面的代码。 案例： 假如下料方式不超过三种，能否使用2.9m钢条切割制作100个钢架？ 解：设P个1m长，Q个0.9m长，则有 P + 0.9Q <= 2.9 P<=100 代入可得 P<=100,Q<=2 可以发现，在保证制作100个钢架的前提下，可行的下料方案最多只能使用2.9m与1m的钢材。因此无法只用2.9m的钢条切割制作100个钢架。