怎么快速判断复变函数是否解析？

Question

怎么快速判断复变函数是否解析，一眼就看出来那种

Answer 1

柯西-黎曼方程：对于一个复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如果它在某个区域内解析，则它必须满足柯西-黎曼方程：

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

如果柯西-黎曼方程不成立，则该函数不解析。

拓扑学方法：对于一个复变函数f(z)，如果它的定义域是一个单连通区域（即没有洞的区域），且在该区域内f(z)没有任何奇点（包括极点和本性奇点），则该函数是解析的。

洛朗级数：如果一个复变函数f(z)在某个区域内可以表示成洛朗级数的形式，即

f(z) = ∑(n=-∞)^(+∞) c_n (z-a)^n

其中a是该函数在该区域内的某个点，c_n是常数，则该函数在该区域内是解析的。

柯西积分定理：如果一个复变函数f(z)在某个区域内解析，则它沿着该区域内任何封闭路径的积分为0，即

∮f(z)dz = 0

这是柯西积分定理的表述。如果一个函数在某个区域内积分不为0，则该函数在该区域内不解析。