赋范线性空间，泛函连续的充要条件

Question

设E是赋范线性空间，f是E上的线性泛函。证明：f连续的充要条件是f的零空间N={x|f(x)=0}为E的闭子空间。

怎么求解

Answer 1

首先，假设ff是连续的，我们需要证明N(f)N(f)是闭的。设{xn}{xn​}是N(f)N(f)中的一个收敛序列，记xn→x∈Exn​→x∈E。由于ff是连续的，所以 $$ f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}0=0 . 因此，因此，x\in N(f)。这就证明了。这就证明了N(f)$是闭的。 反过来，假设N(f)N(f)是闭的，并设xn→xxn​→x且f(xn)=0f(xn​)=0对于所有的nn。由于N(f)N(f)是闭的，所以x∈N(f)x∈N(f)，即f(x)=0f(x)=0。因此， $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n)=f(x)=0 . 这就证明了这就证明了f$是连续的。