LMI约束中有两个sdpvar变量形式的矩阵相乘，发现yalmip工具箱求不出解

Question

如上图所示的LMI约束，tau是已知的常数，A、B是已知的矩阵，X和Y都是sdpvar变量，想求满足条件的X矩阵和Y矩阵。在用yalmip和sdpt3求解器计算时求不出解，显示NAN。但如果将第一行第二列元素中的Y*inv(X)去掉后，能够正常求解。以前也遇到过这样的问题，只要在LMI中遇见两个sdpvar变量相乘时，yalmip都算不出解，请教各位大佬这是什么原因？

Answer 1

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这是因为在LMI中遇到两个sdpvar变量相乘会导致优化问题的非凸性，使得求解器可能会陷入局部最优解而无法找到全局最优解。为了避免这种情况，可以使用yalmip中的replace，将相乘的sdpvar变量替换成一个新的变量，从而使得LMI构成的优化问题为凸问题，可以更容易地求解。具体代码如下：

% 定义变量
X = sdpvar(n);
Y = sdpvar(n);
W = sdpvar(n);
% 构造LMI约束
F = [A*X+B*Y+tau*eye(n) <= 0, Y - W'*W >= 0, X >= eps*n*eye(n), W >= 0];
% 将Y*inv(X)替换成新的变量Z
Z = sdpvar(n);
F = replace(F, Y*inv(X), Z);
% 定义优化目标并求解
obj = trace(W);
ops = sdpsettings('solver', 'sdpt3', 'verbose', 0);
optimize(F, obj, ops);

其中，replace函数的作用是将第一个参数中的第二个参数替换成第三个参数，可以用来替换LMI中相乘的sdpvar变量。