士郎小天使
2021-10-30 16:46
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用指数多项式去拟合一组数据,用最小二乘法求解参数,如何加上0到40的积分为1这个约束

下图分别为指数多项式和普通多项式的公式,去拟合一组数据(x,y),约束条件为积分是1。如果是普通多项式去拟合这组数据的话,可以把约束中的积分变成等式,用拉格朗日乘子法+最小二乘法去求参数(如下面这个代码)。但如果是指数多项式拟合这组数据的话,不考虑约束,只要把y取个对数就能用最小二乘法算出参数,但考虑约束的话,这个指数积分是求不出来的,无法化为等式,那积分为1这个约束条件,要如何去满足

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x = [0:5:40]; % x随意
y = pi/80*sin(1/40*pi*x)+(rand(size(x))-0.5)*pi/80*1/2;% y随意设置,在正弦函数上加随机浮动
n = 5; % n随意
x = x(:);
y = y(:);
S = zeros(length(x), n+1);
q = ones(length(x),1);
S(:,n+1)=q;
for i = n:-1:1
    q = q.*x;
    S(:,i) = q;
end
A = S'*S;
b = S'*y;
a = A\b;%最小二乘
G = 1./(n+1:-1:1).*40.^(n+1:-1:1); % 
aa = [A, G'; G, 0]\[b;1];%拉格朗日乘子法
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