幻灰龙 2022-09-06 21:51 采纳率: 90.9%
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已结题

正方形边上的四只独角狗防得住正方形里的萌鼠么?

如图,正方形ABCD的中心有一只萌鼠,正方形的四个顶点各有一只气呼呼的独角狗想要抓住萌鼠,四只独角狗只能在正方形边界上移动,且速度不超过10cm/s,假设萌鼠足够聪明,萌鼠至少要跑多快才能保证不被抓住逃离正方形?

萌鼠的最优策略是:朝着一个顶点(不妨设为A)移动,直到它与A处的独角狗的距离小于到其他所有独角狗距离的一半时,旋转90°移动。在这样策略的情况下,只需萌鼠的速度高于5√2*cm/s,就可以保证跑出正方形。谁能解释下这个策略为什么最优?

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  • youcans_ 人工智能领域优质创作者 2022-09-07 13:27
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    我认为这个想法不对。问题中没有给出狗的追逐策略,可以且应该理解为狗可以以任意策略追逐。否则,我假设狗采用永远不动坐等的策略,在这种情况下以任意速度都可以实现。

    补充一下:2022/09/08
    这个问题似乎比想象的复杂的多。
    (1)显然,萌鼠与狗的大小应忽略不计,而被视为质点。同样,萌鼠与狗的转向时间,加速时间,应该忽略不计。
    (2)狗的策略。问题中没有给出狗的策略,但“保证不被抓住”需要理解为对于任何狗的策略都可以满足条件。
    (3)因此,题目中给出的策略“朝着顶点A,直到它与A处的独角狗的距离小于到其他所有独角狗距离的一半时,..."是不成立的。因为当萌鼠朝着顶点A运动时,与A点相邻的二狗可以向顶点A运动。于是,“直到...小于...时“永远无法满足。
    (4)进一步地,可以总结狗的最佳策略:
    1)当萌鼠朝着与本狗的直线方向运动时,本狗不动;
    2)当萌鼠朝着与本狗之间直线方向的一侧运动时,本狗沿该侧的边运动。
    简单说,各狗的控制变量是运动速度,包括方向和速率,其最优策略为:
    1)速率为 BangBang 控制,即或者静止,或者按最大速率运动——此点很好证明;
    2)于是各狗的选择只有 3项,向前跑、静止、向后跑;
    3)各狗的最优选择是,以减小(最小化)当前的与萌鼠的距离为目标,从 3种方案中选择减小距离的方案(有且只有一种)。
    在此基础上,我们才能讨论萌鼠“保证不被抓”的逃脱方案和最小速度。具体方案下次再说。

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