数值代数的问题，请友友们解答

Question

设有线性方程组Ax=b， 其中
A=
10.9 1.2 2.1 0.9
1.2 11.2 1.5 2.5
2.1 1.5 9.8 1.3
0.9 2.5 1.3 12.3
B=
-7
5.3
10.3
24.6
(1) 选取适当的松弛因子和初始向量,分别用 Jacobi 迭代，Gauss-Seidel 迭代和松弛迭代法（SOR）求解方程组Ax=b 使误差小于
0.2*10^(-10)（写出详细求解过程）；
(2)说明如何确保每种方法的误差在控制范围内;
(3)使用上述三种方法求解该线性方程组时，给出求得误差在控制范
围内的迭代步数.

Answer 1

% 设置矩阵 A 和向量 b
A = [10.9 1.2 2.1 0.9; 1.2 11.2 1.5 2.5; 2.1 1.5 9.8 1.3; 0.9 2.5 1.3 12.3];
b = [-7; 5.3; 10.3; 24.6];

% 设置误差限
epsilon = 0.2 * 1e-10;

% Jacobi 迭代法

% 选取初始解
x = zeros(size(b));

% 初始化迭代步数
k = 0;

% 迭代求解
while true
    % 计算新的解
    for i = 1:length(b)
        x_new(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x(1:i-1) - A(i, i+1:end)*x(i+1:end)) / A(i,i);
    end
    
    % 更新解
    x = x_new;
    
    % 计算残差向量和残差模长
    r = b - A*x;
    res = norm(r);
    
    % 检查是否满足误差限
    if res < epsilon
        break;
    end
    
    % 更新迭代步数
    k = k + 1;
end

% 输出迭代步数
fprintf('Jacobi 迭代法：迭代 %d 次\n', k);


% Gauss-Seidel 迭代法

% 选取初始解
x = zeros(size(b));

% 初始化迭代步数
k = 0;

% 迭代求解
while true
    % 计算新的解
    for i = 1:length(b)
        x_new(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x_new(1:i-1) - A(i, i+1:end)*x(i+1:end)) / A(i,i);
    end
    
    % 更新解
    x = x_new;
    
    % 计算残差向量和残差模长
    r = b - A*x;
    res = norm(r);
    
    % 检查是否满足误差限
    if res < epsilon
        break;
    end
    
    % 更新迭代步数
    k = k + 1;
end

% 输出迭代步数
fprintf('Gauss-Seidel 迭代法：迭代 %d 次\n', k);

松弛迭代法

% 选取松弛因子
omega = 1.5;

% 选取初始解
x = zeros(size(b));

% 初始化迭代步数
k = 0;

% 迭代求解
while true
% 计算新的解
    for i = 1:length(b)
        x_new(i) = (1-omega)*x(i) + omega * (b(i) - A(i, 1:i-1)*x_new(1:i-1) - A(i, i+1:end)*x(i+1:end)) / A(i,i);
    end
    % 更新解
    x = x_new;

    % 计算残差向量和残差模长
    r = b - A*x;
    res = norm(r);

    % 检查是否满足误差限
    if res < epsilon
        break;
    end

    % 更新迭代步数
    k = k + 1;
end

% 输出迭代步数
fprintf('松弛迭代法（omega = %f）：迭代 %d 次\n', omega, k);