控制理论与方法习题解答

Question

控制理论与方法三道习题备考复习解答，求帮解答一下，感谢，十分简单的。

Answer 1

1、
控制器设计：

根据控制系统的目标， 可以尝试使用PID控制器来设计控制器u。

PID控制器的输出公式为:

u = Kp * (y(d) - x) + Ki * ∫(y(d) - x) + Kd * (y(d) - x) / dt

其中Kp, Ki, Kd是控制器的参数，可以通过试验或者其他方法来确定。

分析稳定性：

可以对系统进行线性化，得到线性系统:

x = (bg(0) + b * df(0)) * x + (bf(0) + b * gf(0)) * u

其中df(0)/dx, gf(0)/dx是f(x)和g(x)在x=0处的导数。

然后 可以使用Routh-Hurwitz定理来判断系统的稳定性。

总结：

可以使用PID控制器来设计控制器u，并使用Routh-Hurwitz定理来分析系统的稳定性。

2、
为了让 x 跟踪期望轨迹 y， 可以将 y 作为 x 的目标轨迹，然后使用输入跟踪控制器来控制 x。这样， 就可以将问题转化为：对于给定的目标轨迹 y，设计一个输入跟踪控制器 u，使得 x 跟踪 y。

具体而言， 可以使用以下输入跟踪控制器：

u = (y - x) / g(x)

这样就可以获得以下跟踪误差方程：

e = y - x
de/dt = y' - x' = y' - (g(x)u + θφ(x)) = (1 - g(x))u - θφ(x)

希望跟踪误差 e 收敛到 0，因此 希望 de/dt 收敛到 0。为了使 de/dt 收敛到 0， 可以使用 Lyapunov 函数来分析系统的稳定性。

具体而言， 可以定义 Lyapunov 函数为 V(e) = e^2。然后计算出 V'(e)，并确定是否存在一个常数 λ，使得 V'(e) + λV(e) ≤ 0。如果存在这样的 λ，那么系统就是稳定的。

根据以上分析， 得到以下结论：如果 θ < 0，则系统是稳定的；如果 θ ≥ 0，则系统是不稳定的。

3、
这是一个非线性系统。在设计控制器之前， 需要对这个系统进行线性化。

首先可以将系统状态量表示为一个向量形式：

x = [x₁, x₂]

然后假设控制输入u的值是固定的，在这种情况下，f₁(x₁)和f₂(x₁,x₂)也是固定的。因此， 可以将f₁(x₁)和f₂(x₁,x₂)看作线性函数的系数。

在这种情况下，系统的状态转移方程可以表示为：

x = Ax + Bu + Δ

其中A是系统的系数矩阵，B是控制输入的系数矩阵，Δ是扰动向量。

现在可以使用反步法来设计控制器。反步法是一种常用的线性化控制方法，其中系统的状态量可以被视为反馈信号，而控制输入则可以被视为输入信号。

首先 需要选择一个参考轨迹y（d），作为 想要让系统跟踪的轨迹。然后， 可以定义一个跟踪误差e，表示系统实际轨迹与参考轨迹之间的差异：

e = y（d） - x

接下来可以使用反步法来设计控制输入u，以使得跟踪误差e收敛到零：

u = -K₁e - K₂de/dt

其中，K₁和K₂是待定的控制器系数。

最后 需要分析系统的稳定性。一般来说，系统的稳定性可以通过求解线性化后的系统的特征方程来判断。如果系统的特征方程的所有根都位于复平面内的负半轴，则系统是稳定的。

另外 还可以使用一些工具来分析系统的稳定性，如 Lyapunov函数法和Barbalat不等式等。这些工具可以帮助 对系统进行数学分析，并判断系统是否是稳定的。
首先可以使用Lyapunov函数法来分析系统的稳定性。Lyapunov函数法是一种常用的稳定性分析方法，它基于一个称为Lyapunov函数的特殊函数。

Lyapunov函数是一个非负的函数，其在系统稳定时取最小值，在系统不稳定时取最大值。 可以利用这个性质来判断系统的稳定性。

具体来说， 可以假设有一个Lyapunov函数V(e)，它可以表示跟踪误差e的平方和：

V(e) = e'Pe

其中P是一个正定的矩阵。

可以通过计算Lyapunov函数的导数来判断系统的稳定性：

dV/dt = 2e'Pe'A'e + 2e'Pe'Be

如果dV/dt < 0，则系统是稳定的。

另外还可以使用Barbalat不等式来分析系统的稳定性。Barbalat不等式是一种常用的稳定性分析工具，它通过对系统的输入信号和输出信号进行分析来判断系统的稳定性。

具体来说可以定义一个叫做控制力的函数F(u)，表示系统的控制力：

F(u) = ∂u/∂t + ∂u²/∂e

然后可以使用Barbalat不等式来判断系统的稳定性：

|e| ≤ ∫|F(u)|dt

如果这个不等式成立，则系统是稳定的。

通过使用Lyapunov函数法和Barbalat不等式， 可以分析 设计的控制器的稳定性。如果分析结果表明系统是稳定的，则 可以将这个控制器应用到实际系统中。
仅供参考，望采纳，谢谢。