启发式算法的上界应该怎么证明

Question

想问一下启发式算法的上界应该怎么证明？比如对0-1变量进行了松弛，对另一个变量进行了SCA凸近似，那么我求解这个近似问题得到的局部最优解有多逼近全局最优解？

Answer 1

启发式算法的上界是指启发式算法最多只能比最优解差多少。证明这个上界的方法取决于启发式算法中使用的松弛和近似的方法。

对于你提到的这种情况，你可以根据启发式算法使用的松弛和近似方法，分别证明这两个方法对最优解的影响。然后，你就可以将这两个影响相加，得到启发式算法的上界。

例如，如果你使用了对 0-1 变量的松弛，你可以证明这种松弛方法最多只会让最优解增加一定的值。同样的，如果你使用了 SCA 凸近似，你也可以证明这种近似方法最多只会让最优解增加一定的值。然后，你可以将这两个值相加，得到启发式算法的上界。

例如，假设你使用了对 0-1 变量的松弛，这种松弛方法最多只会使最优解增加 10。同样的，假设你使用了 SCA 凸近似，这种近似方法最多只会使最优解增加 5。那么，启发式算法的上界就是 15。这意味着，启发式算法最多只会比最优解差 15。

这是一种大致的证明方法，但具体的证明过程可能会更复杂，需要根据具体的启发式算法和松弛、近似方法来进行。