关于线性代数里施密特正交化和QR分解的疑问

Question

学习线代的时候，一直搞不明白矩阵施密特正交化和QR分解的动机是什么？
这样做有什么好处呢？在百度上搜过，都说简便矩阵运算，但是没有具体的例子，我还是不明白为什么。
希望解答能结合矩阵和现实中的一个例子，这样我好理解。

Answer 1

简单来说施密特正交化和QR分解都是针对矩阵的正交变换（orthogonal transformation）方法。

---

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是一种将非正交向量组转化为正交向量组的方法，可以使用Gram-Schmidt正交化算法实现。这种方法的优点是能够保证转换后的向量组正交，但缺点是算法较为复杂，而且在运算过程中有可能出现数值精度问题。

QR分解（QR decomposition）是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。QR分解的优点是算法相对简单，而且可以利用Q矩阵的正交性质来解决线性方程组，或者使用R矩阵的上三角结构来做矩阵运算。

举个例子，在统计学中，需要对数据进行降维处理来简化数据结构，其中一种方法就是主成分分析（PCA）。在PCA中，使用QR分解来求解协方差矩阵的特征值和特征向量，来找出数据主要的方向。