come and bite me 2023-01-27 22:03 采纳率: 100%
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关于线性代数里施密特正交化和QR分解的疑问

学习线代的时候,一直搞不明白矩阵施密特正交化和QR分解的动机是什么?
这样做有什么好处呢?在百度上搜过,都说简便矩阵运算,但是没有具体的例子,我还是不明白为什么。
希望解答能结合矩阵和现实中的一个例子,这样我好理解。

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  • heart_6662 2023-01-27 22:38
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    简单来说施密特正交化和QR分解都是针对矩阵的正交变换(orthogonal transformation)方法。


    施密特正交化(Schmidt orthogonalization)是一种将非正交向量组转化为正交向量组的方法,可以使用Gram-Schmidt正交化算法实现。这种方法的优点是能够保证转换后的向量组正交,但缺点是算法较为复杂,而且在运算过程中有可能出现数值精度问题。

    QR分解(QR decomposition)是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。QR分解的优点是算法相对简单,而且可以利用Q矩阵的正交性质来解决线性方程组,或者使用R矩阵的上三角结构来做矩阵运算。

    举个例子,在统计学中,需要对数据进行降维处理来简化数据结构,其中一种方法就是主成分分析(PCA)。在PCA中,使用QR分解来求解协方差矩阵的特征值和特征向量,来找出数据主要的方向。

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