关于线性代数里施密特正交化和QR分解的疑问

Question

学习线代的时候，一直搞不明白矩阵施密特正交化和QR分解的动机是什么？
这样做有什么好处呢？在百度上搜过，都说简便矩阵运算，但是没有具体的例子，我还是不明白为什么。
希望解答能结合矩阵和现实中的一个例子，这样我好理解。