请问可逆矩阵求逆判断是否需要第一类初等矩阵

Question

假设一个矩阵可逆，只用初等行变换，（即进行行交换，一行的倍数加到另一行，一行乘以一个非零常数）。请问如何判断可逆矩阵是否需要进行行交换才能变成单位阵呢？

Answer 1

该回答引用ChatGPT
可逆矩阵需要经过一系列的初等行变换才能变成单位矩阵。一种判断可逆矩阵是否需要进行行交换的方法是，将可逆矩阵通过初等行变换变成上三角矩阵或下三角矩阵，然后判断对角线上是否有 $0$ 元素。若对角线上有 $0$ 元素，则需要进行行交换才能将其变成单位阵。否则，通过逆向初等行变换可以将上三角矩阵或下三角矩阵变成单位矩阵。

具体的做法如下：

1、将可逆矩阵进行初等行变换，将其变成上三角矩阵或下三角矩阵。

2、对于上三角矩阵，判断其对角线上是否有 $0$ 元素。如果有 $0$ 元素，那么需要进行行交换。否则，可以通过逆向初等行变换将其变成单位矩阵。

3、对于下三角矩阵，判断其对角线上是否有 $0$ 元素。如果有 $0$ 元素，那么需要进行行交换。否则，可以通过逆向初等行变换将其变成单位矩阵。

需要注意的是，进行初等行变换时需要保证矩阵的每个元素都是实数，否则可能会出现不可预期的结果。