求解数学相关问题解答

Question

在右手直角坐标系I＝｛O，e1，e2｝中，设f是把直线x.＝0变为x＝1，把直线y＝0变为y＝2。把点（1，2）变为（2，0）的仿射变换，
一，求f在I中的变换公式，
二，证明f是保距变换
三，判断f是平移，反射，旋转，滑反射中的哪一种，并证明

Answer 1

在直角坐标系l={O,e1,e2}中，设f是将直线x=0变为x=1，将直线y=0变为y=2，将点(1,2)变为(2,0)的仿射变换。我们需要找到该变换的矩阵表示。
首先，由于该变换将直线x=0变为x=1，因此它必须保持直线y=0不变。同样地，它将直线y=0变为y=2，因此必须保持直线x=0不变。因此，该变换的矩阵表示为：
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ]
其中，第一行表示e1的变换，第二行表示e2的变换，第三行表示平移。

其次，该变换将点(1,2)变为(2,0)，因此可以计算出平移向量为
[ 1 ]
[-2 ]
[ 0 ]
因此，该变换的矩阵表示为：
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ] * [x, y, 1]' + [ 1, -2, 0]'
其中，[x, y, 1]'表示齐次坐标。

要证明f是保距变换，需要证明对于所有的向量u和v，它们之间的欧几里得距离与它们在f下的像之间的欧几里得距离相等，即：
||f(u) - f(v)|| = ||u - v||

根据矩阵变换的定义，我们可以将其展开为：

||Au - Av|| = ||u - v||

其中，A表示f的矩阵表示。

现在，我们可以计算矩阵A和它的转置矩阵AT的乘积，得到：

A * AT =
[ 2 0 0 ]
[ 0 1 2 ]
[ 0 2 5 ]

这是一个对称矩阵，因此它的特征值都是实数。此外，由于它是正定矩阵，因此它的特征值都是正数。

因此，对于所有的向量u和v，我们都有：

||Au - Av||^2 = (Au - Av)T * (Au - Av) = (u - v)T * A * AT * (u - v) = λ||u - v||^2

其中，λ表示A * AT的最小特征值。因为λ是正数，所以该变换是保距变换。
根据前面的计算结果，我们可以发现 f既不是平移，也不是反射，也不是旋转。

对于滑反射，我们可以利用其定义，即一个线性变换加上一个平移变换的组合来进行判断。

设 f' 是一个平移变换，将 (1, 2) 映射到 (2, 0)$，即 f'(1, 2) = (2, 0)。则 f - f' 是一个线性变换，我们将其记为 A。则有 A \cdot (1, 0) = (2, -2) 和 A \cdot (0, 1) = (-1, 2)。根据线性变换的定义，我们可以得到 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix}。于是可以得到 f = f' + A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix}，其中 t 是任意实数。

因此，f 是滑反射变换，其将直线 x=0映射为直线x=1，将直线 y=0映射为直线 y=2，并且保持了点(1,2) 到 (2,0) 的距离不变。