求解高等代数相关问题解答

Question

设G＝｛A∈Mn(Z)I IAI＝1或IAI＝-1｝，其中Mn(Z)是指由元素皆为整数的所有n阶矩阵构成的集合
一，证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群
二，设GLn(R)＝｛A∈Mn(R)I IAI≠0｝为一般线性群，在GLn(R)上定义一个关系w如下，对GLn(R)中任意两个矩阵A和B，如果A (B-1)∈G，那么称A和N满足关系w，记作AwB，证明，关系w是等价关系

Answer 1

参考GPT和自己的思路，一、要证明集合G关于矩阵的乘法构成一个群，需要满足以下四个条件：

1 闭合性：对于G中的任意两个元素A和B，它们的积AB仍然属于G。

2 结合律：对于G中的任意三个元素A、B和C，满足(A B)C=A (BC)。

3 单位元：存在一个单位元I，使得对于G中的任意元素A，都有AI=IA=A。

4 逆元：对于G中的任意元素A，存在一个逆元A'，使得AA'=A'A=I。

我们逐一证明这四个条件：

1 对于任意两个元素A和B，由于IA=AI=A和IB=BI=B，所以IA(IB)=A(BI)=AB，因此AB∈G，G对于矩阵的乘法是闭合的。

2 对于任意三个元素A、B和C，由于G中的元素满足IA=AI=A和IB=BI=B和IC=CI=C，所以((AB)C)D=(AB)(CD)=A(BC)D=A(B(CD))=A(BD)，因此G对于矩阵的乘法是结合的。

3 存在一个单位元I，使得对于G中的任意元素A，都有AI=IA=A。当A的行列式为1时，A即为行列式为1的n阶矩阵，此时有AI=IA=A。

4 对于任意元素A，由于G中的元素满足IA=AI=A和IA=-A，因此A的行列式只可能是1或-1。当A的行列式为1时，A即为行列式为1的n阶矩阵，此时存在一个逆元A'，使得AA'=A'A=I。当A的行列式为-1时，A不属于G，因此不考虑该情况。

综上所述，集合G关于矩阵的乘法构成一个群。

二、要证明关系w是等价关系，需要满足以下三个条件：

1 自反性：对于GLn(R)中的任意矩阵A，都有A w A。

2 对称性：对于GLn(R)中的任意矩阵A和B，如果A w B，则B w A。

3 传递性：对于GLn(R)中的任意矩阵A、B和C，如果A w B且B w C，则A w C。

我们逐一证明这三个条件：

1 对于GLn(R)中的任意矩阵A，有AI=IA=A和A(A-1)=I，因此A(A-1)A=A，即AA=A(A-1)A属于G。因此A w A，关系w具有自反性。
2 对于GLn(R)中的任意矩阵A和B，如果A w B，则存在矩阵C，使得AC=B，即A(B-1)=C属于G。则有B(A-1)=(A(B-1))(-1)属于G，因此B w A，关系w具有对称性。

3 对于GLn(R)中的任意矩阵A、B和C，如果A w B且B w C，则存在矩阵D和E，使得AD=B，BE=C，即A(B-1)=D属于G和B(C-1)=E属于G。则有A(C-1)=(A(B-1))(B(C-1))属于G，因此A w C，关系w具有传递性。

综上所述，关系w是等价关系。