MATLAB中微分方程组的相平面图绘制

Question

如图左所示的微分方程组及其势函数，哈密顿函数公式，如何在MATLAB中画出图右所示的哈密顿系统相平面图

Answer 1

以下答案基于ChatGPT与GISer Liu编写：
在MATLAB中绘制相平面图可以使用odephase函数，具体步骤如下：

1. 定义微分方程组及其势函数
   根据题目所给的微分方程组，可以定义一个函数，用于计算微分方程组的右端项。同时，也需要定义势函数。

2. 计算哈密顿函数
   根据题目所给的哈密顿函数公式，可以定义一个函数，用于计算哈密顿函数。

3. 求解微分方程组
   使用ode45函数求解微分方程组，得到相空间中的轨迹。

4. 绘制相平面图
   使用odephase函数绘制相平面图，将相空间中的轨迹画在相平面上。

下面是具体的MATLAB代码实现：

% 定义微分方程组及势函数
function dy = hamiltonian_sys(t, y)
    % y = [x; p]
    omega = 2;
    dy = [y(2); -omega^2 * y(1) - 2 * y(1)^3];
end

function U = hamiltonian_potential(x, p)
    U = 0.5 * x^2 + 0.5 * p^2 - 0.5 * (x^2)^2;
end

% 定义哈密顿函数
function H = hamiltonian(x, p)
    H = 0.5 * x^2 + 0.5 * p^2 + (x^2)^2;
end

% 求解微分方程组
[t, y] = ode45(@hamiltonian_sys, [0, 10], [1, 0]);

% 绘制相平面图
odephase(@hamiltonian_potential, [-2, 2], [-2, 2]);
hold on;
plot(y(:, 1), y(:, 2), 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('p');
title('Hamiltonian System Phase Portrait');