设计一个乘法同态加密方案。

Question

设计一种乘法同态加密方案。这意味着，给定a的加密和b的加密，你能够在没有访问解密密钥的情况下计算a.b的加密。

Answer 1

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
乘法同态加密方案可以通过使用特定的数学运算技术，将明文的乘法操作转换为密文中的加法操作。这种方案可以在不暴露任何加密信息的情况下进行乘法计算。

以下是一种简单的乘法同态加密方案：

1. 选择两个大质数p和q，并计算n = p * q，作为公钥。

2. 选择一个数g，满足g是n的原根，作为公钥。

3. 随机选择一个整数a，并计算g的a次方模n，作为私钥。

4. 加密明文x：选择一个随机数r，并计算 y = g^x * r^n mod n，其中y是密文。

5. 加密明文y：选择一个随机数s，并计算 z = g^y * s^n mod n，其中z是密文。

6. 计算乘积：计算w = y * z mod n，其中w是a*b的密文。

7. 解密：将w解密为明文 w'，计算w' = w^(1/a) mod n，其中a是私钥。

可以证明，这个方案可以实现乘法同态加密，即对于密文y和z，解密后的明文为y'和z'，有y' * z' = (g^x * r^n)^ab * (g^y * s^n)^ab mod n = (g^(abx+aby) * r^(abn) * s^(abn)) mod n = g^(abx+aby) * (r^n)^ab * (s^n)^ab mod n = g^ab(x+y) * y * z mod n = a*b

这个方案的主要优点是简单易用，可以实现乘法同态加密。缺点是安全性不够高，可以通过攻击求解私钥。实际应用中，需要使用更加复杂的方案来提高安全性。