常系数非齐次线性微分方程的问题

Question

为什么第二种情况不是R（x）=xRm（x）+c？为什么书上没有这个常数项c。

Answer 1

对于常系数非齐次线性微分方程：

y'' + ay' + by = f(x)

其中 a 和 b 都是常数，f(x) 是已知函数。

有两种情况，一种是 f(x) 是指数函数，另一种是 f(x) 是多项式函数。

对于第一种情况，解的形式为 y = R(x) e^(mx)，其中 m 为常数，R(x) 是一个与 x 相关的函数。

将 y = R(x) e^(mx) 带入到原方程中，得到：

R''(x) e^(mx) + (2mR'(x) + aR(x)) e^(mx) + bR(x) e^(mx) = f(x)

将 e^(mx) 分离出来，得到：

e^(mx) (R''(x) + 2mR'(x) + (a+bm)R(x)) = f(x)

因为 e^(mx) 不等于零，所以可以将方程简化为：

R''(x) + 2mR'(x) + (a+bm)R(x) = f(x) e^(-mx)

令 Rm(x) 为特解，则有：

Rm''(x) + 2mRm'(x) + (a+bm)Rm(x) = f(x) e^(-mx)

对于第二种情况，即 f(x) 是多项式函数，解的形式为：

y = (Ax^k + Bx^(k-1) + ... + C) e^(mx)

其中 k 是 f(x) 的最高次幂，A, B, ..., C 都是常数，R(x) 是一个与 x 相关的函数。

将 y 带入到原方程中，得到：

[A(m^2+kam+b) x^k + ... + C(m^2+am+b)] e^(mx) + f(x) = 0

因为 e^(mx) 不等于零，所以可以将方程简化为：

[A(m^2+kam+b) x^k + ... + C(m^2+am+b)] + f(x) e^(-mx) = 0

注意到上式中的常数项是与 x 无关的，所以不能写成 R(x) = xRm(x) + c 的形式。

关于为什么书上没有给出这个常数项 c，可能是因为这个常数项并不能代表所有可能的常数项，因为常数项可以是任何常数。同时，书上可能认为这个常数项并不重要，因为它不会影响到 R(x) 的定义和求解。