这个递归函数为什么是O(2^rest)的啊，它构成了一颗树，而时间复杂度怎么成了树底?

Question

int f(int N,int s ,int rest,int cur)
{
    if(rest==0)
    {
        return cur==s?1:0;
    }
    if(cur==1)
    {
        return f(N,s,rest-1,2);
    }
    if(cur==N)
    {
        return f(N,s,rest-1,N-1);
    }
    return f(N,s,rest-1,cur-1)+f(N,s,rest-1,cur+1);
}

Answer 1

“Devil组”引证GPT后的撰写：

• 这个递归函数的时间复杂度确实是O(2^rest)，其中rest是递归的深度。为了更好地理解这个时间复杂度，可以考虑函数调用形成的树形结构。

• 每次递归调用会生成两个子问题，因此可以将递归调用形成的树形结构看作是一棵满二叉树，其高度为rest，树的节点数为2^rest-1。这是因为树的高度是rest，每个节点都有两个子节点，所以树的节点数为2^rest-1。

• 在这个函数中，每个节点都需要执行一次递归调用，因此函数的总时间复杂度就是所有节点的调用时间的总和。由于每个节点都需要O(1)的时间来执行，因此总时间复杂度就是O(2^rest)。

• 因此，虽然这个函数形成了一棵树形结构，但是时间复杂度并不是树底的复杂度，而是树的节点数乘以每个节点的时间复杂度。