theman23 2023-03-22 14:59 采纳率: 50%
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请教一道数学题,一个整数的拆分

请教个数学题
我有一个随机数,是10的整数倍,但小于等于100,即10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
我有4个基本数,是10,20,30,40
当给出随机数的时候,将随机数,拆分成基本数的 和
问:有几种拆法

举例:随机数100,可以拆成40+40+20,也可以拆成40+40+10+10,也可以拆成40+30+20+10,怎么算出所有的拆法?

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  • 幻_化_成_风 2023-03-22 15:05
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    这道题可以使用递归的思想求解。
    首先,我们将问题分成两个子问题:
    对于给定的随机数,从四个基本数中选择一个数,然后求剩余数的拆分方法数。
    对于给定的随机数,从四个基本数中选择两个数,然后求剩余数的拆分方法数。
    为了避免重复计算,我们可以使用记忆化搜索。具体来说,我们可以建立一个二维数组 $dp$,其中 $dp[i][j]$ 表示拆分数为 $i$,从第 $j$ 个基本数开始拆分的方法数。
    对于第一个子问题,我们可以写出如下的递推式:
    $$ dp[i][j] = \sum_{k=0}^{i/j} dp[i-kj][j+1] $$
    其中 $k$ 是第 $j$ 个基本数的个数,$i/j$ 是剩余数 $i$ 最多可以拆分的个数。
    对于第二个子问题,我们可以写出如下的递推式:
    $$ dp[i][j] = \sum_{k=0}^{i/j} dp[i-kj][j+1] $$
    其中 $k$ 是第 $j$ 个基本数的个数,$i/j$ 是剩余数 $i$ 最多可以拆分的个数,但是要满足 $i-kj\geq j$。
    最终的答案就是将这两个子问题的结果相加。
    以下是用 C# 语言实现的代码:

    using System;
    
    class Program
    {
        static int[,] dp = new int[101, 5];
    
        static int dfs(int n, int start)
        {
            if (n < 0 || start > 4)
                return 0;
            if (n == 0)
                return 1;
            if (dp[n, start] != -1)
                return dp[n, start];
            int res = 0;
            for (int i = start; i < 4; i++)
                res += dfs(n - i * 10, i + 1);
            dp[n, start] = res;
            return res;
        }
    
        static void Main(string[] args)
        {
            for (int i = 0; i <= 100; i++)
                for (int j = 0; j < 5; j++)
                    dp[i, j] = -1;
            int ans = 0;
            for (int i = 10; i <= 100; i += 10)
                for (int j = 0; j < 4; j++)
                    ans += dfs(i - j * 10, j + 1);
            Console.WriteLine(ans);
        }
    }
    
    
    
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