求 M(x)的(7, 4) 循环冗余码 V(x)。假设读取的CRC编码为1010100，试对其检错与纠错。

Question

设生成多项式 G(x) = 1101,待编码的 4 位二进制数是 M(x) = 1011,求 M(x)的(7, 4) 循环冗余码 V(x)？假设读取的CRC编码为1010100，试对其检错与纠错。

Answer 1

首先将待编码的二进制数 M(x) 左移 3 位，变为 1011000，然后计算出 M(x) 左移 3 位后除以生成多项式 G(x) 的余数 R(x)：

    1 0 1 1 0 0 0 (M(x) 左移 3 位)
^-----------------
1 1 0 1 | 0 0 0 0 (G(x))
        1 0 1 1 0 (余数 R(x))

所以循环冗余码 V(x) 为 1011000 + 1011 = 1010011。

检错时，将读取的 CRC 编码拼接到接收到的数据末尾，计算拼接后的数据除以生成多项式 G(x) 的余数，如果余数为 0，说明没有错误；否则，根据余数的值进行纠错，将对应的比特取反即可。

将读取的 CRC 编码 1010100 拼接到接收到的数据 1010011 的末尾，得到 10100111010100，计算其除以生成多项式 G(x) 的余数：

         1 0 1 0 1 0 0 (余数)
^--------------------
1 1 0 1 | 0 0 0 0     (G(x))
        ----------
          1 0 1 1 0
          1 1 0 1
          -------
            1 1 1   (余数)

余数不为 0，说明存在错误。根据余数的值，可以得知第 3 个比特位出现了错误。将第 3 个比特取反得到 10100101010100，即为纠错后的数据。