已知矩阵AX=XB,BY=YA,求XY

Question

已知矩阵AX=XB,BY=YA,矩阵均可逆。求XY
有AXY=XBY=XYA,BYX=YAX=YXB
XY有什么特性？

Answer 1

将第一个等式中的 X 移项，得到：

AXY - XBY = 0

因为 A 和 B 都是可逆矩阵，所以可以左乘 A^(-1) 和右乘 B^(-1)，得到：

A^(-1) AXYB^(-1) - A^(-1) XBB^(-1)Y = 0

因为 A^(-1) A = I 和 BB^(-1) = I，所以简化为：

XY - A^(-1) X Y B^(-1) = 0

同样地，将第二个等式中的 Y 移项，得到：

BYX - YAX = 0

左乘 B^(-1) 和右乘 A^(-1)，得到：

B^(-1) BYXA^(-1) - B^(-1) YAA^(-1)X = 0

因为 BB^(-1) = I 和 A^(-1) A = I，所以简化为：

XY - B^(-1) Y X A^(-1) = 0

因此，有两个等式：

XY - A^(-1) X Y B^(-1) = 0
XY - B^(-1) Y X A^(-1) = 0

由此可知，XY 是 A^(-1)XB^(-1) 和 B^(-1)YA^(-1) 的公共特征向量，对应的特征值均为1。因此，XY 是可逆矩阵，并且与 A^(-1)XB^(-1) 和 B^(-1)YA^(-1) 相似。