运筹学基解和非基向量

Question

我看课本直接假设非基向量直接为0，可这样会遗漏解呀。我哪理解错了？

Answer 1

以下内容部分参考ChatGPT模型：

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在线性规划中，基本可行解是由基向量和非基向量构成的。基向量是线性规划中的可行解，而非基向量是线性规划中的不可行解。在解决线性规划问题时，我们需要找到一个基本可行解，然后通过迭代来逐步优化这个基本可行解。

在迭代过程中，我们需要选择一个非基向量来进入基向量集合中，并选择一个基向量来离开基向量集合。这个选择是有一定规则的，我们需要选择一个能使目标函数值最大化（或最小化）的非基向量，并选择一个能使基本可行解继续保持可行的基向量来离开基向量集合。

对于一个线性规划问题，如果它的可行域是有界的，那么我们一定能够找到一个基本可行解。而如果它的可行域是无界的，那么我们就无法找到一个基本可行解。

回到提问中的问题，如果我们将所有的非基向量都设置为0，那么这个基本可行解就是一个可行解。但是，这个可行解不一定是最优解，因为我们可能会错过一些更好的可行解。

因此，我们需要通过迭代来逐步优化这个基本可行解，找到一个最优解。在每一次迭代中，我们需要选择一个合适的非基向量和基向量，并进行交换。如果我们无法找到一个合适的非基向量，那么这个线性规划问题就无法得到解决。

下面是一个简单的例子来说明如何找到一个基本可行解和进行迭代优化：

假设有如下的线性规划问题：

maximize 2x1 + 3x2

subject to:

x1 + x2 <= 4

2x1 + x2 <= 5

x1, x2 >= 0

首先，我们需要将约束条件转化为标准形式：

maximize 2x1 + 3x2

subject to:

x1 + x2 + x3 = 4

2x1 + x2 + x4 = 5

x1, x2, x3, x4 >= 0

现在，我们需要找到一个基本可行解。我们可以将x3和x4设置为0，然后解方程组：

x1 + x2 = 4

2x1 + x2 = 5

得到x1 = 3、x2 = 1，这就是一个基本可行解。

接下来，我们需要进行迭代优化。首先，我们需要选择一个非基向量。根据目标函数，我们选择x1作为非基向量。然后，我们需要选择一个基向量来离开基向量集合。为了保持可行性，我们需要选择x3作为基向量。

接下来，我们需要解方程组：

x1 = 4 - x2 - x3

2x1 + x2 = 5

得到x1 = 1、x2 = 3，这就是一个新的基本可行解。如果我们将x1和x2代入目标函数中，可以得到一个更优的解：maximize 2x1 + 3x2 = 2(1) + 3(3) = 11。

我们可以继续进行迭代优化，直到找到一个最优解。

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