任意四边形板的自由振动分析和计算它的频率的matlab程序

Question

请问任意四边形板的自由振动分析和计算它的频率的matlab程序怎么编，最后附上了板的控制方程，但是各位友友如果没时间的话，能否提供一个近似的程序，谢谢！

板的控制方程如下：

Answer 1

以下内容部分参考ChatGPT模型：

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这个问题需要使用有限元方法来进行求解。可以先将四边形板离散化成小的单元，然后用有限元方法来求解每个单元的振动模态和频率，最后将所有单元的振动模态和频率合并起来，得到整个板的振动模态和频率。

具体的步骤包括：

1. 将四边形板离散化成小的单元，可以使用三角形或四边形单元，这里以四边形单元为例。

2. 对于每个单元，构造其刚度矩阵和质量矩阵，可以参考文献中的公式表达式。

3. 将所有单元的刚度矩阵和质量矩阵组装成整个板的刚度矩阵和质量矩阵。

4. 求解板的特征值和特征向量，即求解刚度矩阵和质量矩阵的特征值和特征向量，可以使用MATLAB中的eig函数来求解。

5. 根据特征值和特征向量，计算板的振动模态和频率。

以下是一个简单的MATLAB程序，用于计算一个四边形板的自由振动模态和频率：

% 构造四边形板的节点坐标
x = [0 1 2 3; 0 1 2 3; 0 1 2 3; 0 1 2 3];
y = [0 0 0 0; 1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3];

% 将四边形板离散化成小的单元
element = [1 2 6 5; 2 3 7 6; 3 4 8 7; 5 6 10 9; 6 7 11 10; 7 8 12 11; 9 10 14 13; 10 11 15 14; 11 12 16 15];

% 计算单元的刚度矩阵和质量矩阵
K = zeros(16);
M = zeros(16);
for i = 1:size(element, 1)
    x1 = x(element(i, 1));
    x2 = x(element(i, 2));
    x3 = x(element(i, 3));
    x4 = x(element(i, 4));
    y1 = y(element(i, 1));
    y2 = y(element(i, 2));
    y3 = y(element(i, 3));
    y4 = y(element(i, 4));
    Ke = element_stiffness(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4);
    Me = element_mass(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4);
    K(element(i,:), element(i,:)) = K(element(i,:), element(i,:)) + Ke;
    M(element(i,:), element(i,:)) = M(element(i,:), element(i,:)) + Me;
end

% 求解整个板的特征值和特征向量
[V, D] = eig(K, M);

% 提取特征值和特征向量
lambda = diag(D);
omega = sqrt(lambda);
phi = V;

% 绘制振动模态
for i = 1:9
    subplot(3,3,i);
    patch(x(:,element(i,:)), y(:,element(i,:)), phi(element(i,:),i));
    axis equal;
end

% 输出前10个频率
disp(omega(1:10));

% 计算单元的刚度矩阵
function Ke = element_stiffness(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4)
    B = [-1 1 0 0; -1 0 1 0; -1 0 0 1; 0 -1 1 0; 0 -1 0 1; 0 0 -1 1; 1 0 -1 0; 0 1 0 -1; 1 -1 0 0; 0 1 -1 0; 0 0 1 -1; 0 0 0 0];
    C = [x1 y1 1; x2 y2 1; x3 y3 1; x4 y4 1];
    J = [B*C zeros(12,1); zeros(12,1)' zeros(1)];
    A = det(C)/2;
    D = [1 -1 0; -1 1 0; 0 0 0];
    Ke = B'*D*B*A;
end

% 计算单元的质量矩阵
function Me = element_mass(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4)
    B = [1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1];
    C = [x1 y1 1; x2 y2 1; x3 y3 1; x4 y4 1];
    J = [B*C zeros(4,1); zeros(4,1)' zeros(1)];
    A = det(C)/2;
    rho = 1;
    Me = B'*rho*A*B;
end

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