相机在地面的可视范围求解

Question

把相机看做质点，不考虑它本身的尺寸参数，已知它在世界的直角坐标系的坐标，俯仰角，滚转角和偏航角，视场角是60度，视场纵横比为1，我们可以想象这个相机的可视范围是一个顶点在相机的正四棱锥，假设相机可以看到的距离无限远，那么在俯视角的时候这个四棱锥的四条侧边与地面有四个交点，我想求解这四个交点，应该怎么解决这个问题？我用的Python

Answer 1

以下内容部分参考ChatGPT模型：

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首先，我们需要将相机的俯仰角、滚转角和偏航角转换为旋转矩阵，然后将它与相机的位置向量相乘，得到相机坐标系下的视锥顶点和方向向量。然后，我们可以用这些信息计算出视锥体在世界坐标系下的顶点和面。

具体实现的代码示例如下（使用Python语言）：

import numpy as np

# 相机在世界坐标系下的位置和朝向
cam_pos = np.array([1, 2, 3])  # x, y, z
pitch, yaw, roll = np.deg2rad([30, 45, 60])

# 计算旋转矩阵
Rx = np.array([[1, 0, 0], [0, np.cos(pitch), -np.sin(pitch)], [0, np.sin(pitch), np.cos(pitch)]])
Ry = np.array([[np.cos(yaw), 0, np.sin(yaw)], [0, 1, 0], [-np.sin(yaw), 0, np.cos(yaw)]])
Rz = np.array([[np.cos(roll), -np.sin(roll), 0], [np.sin(roll), np.cos(roll), 0], [0, 0, 1]])
R = Rz @ Ry @ Rx

# 相机坐标系下的视锥顶点和方向向量
fov = np.deg2rad(60)
aspect_ratio = 1
near_clip = 0.1
far_clip = 100
y = near_clip * np.tan(fov / 2)
x = y * aspect_ratio
view_dir = np.array([0, 0, -1])  # 默认朝向负Z轴
top_left = np.array([-x, y, -near_clip])
top_right = np.array([x, y, -near_clip])
bottom_left = np.array([-x, -y, -near_clip])
bottom_right = np.array([x, -y, -near_clip])
corners = np.array([top_left, top_right, bottom_left, bottom_right])
corners = corners @ R.T + cam_pos.reshape(1, -1)
view_dir = view_dir @ R.T

# 计算视锥体的面
faces = np.zeros((6, 4, 3))
faces[0] = [corners[0], corners[1], corners[3], corners[2]]  # 近面
faces[1] = [corners[4], corners[6], corners[7], corners[5]]  # 远面
faces[2] = [corners[0], corners[4], corners[5], corners[1]]  # 左面
faces[3] = [corners[2], corners[3], corners[7], corners[6]]  # 右面
faces[4] = [corners[0], corners[2], corners[6], corners[4]]  # 上面
faces[5] = [corners[1], corners[5], corners[7], corners[3]]  # 下面

这段代码首先计算了相机在世界坐标系下的旋转矩阵，然后计算了相机坐标系下的视锥顶点和方向向量。最后，根据视锥顶点和方向向量，计算了视锥体的六个面。

需要注意的是，这段代码中计算的是一个透视投影的视锥体。如果需要计算一个正交投影的视锥体，需要将计算视锥顶点和方向向量的部分改为：

view_dir = np.array([0, 0, -1])  # 默认朝向负Z轴
size = 10  # 正交投影的视锥体大小
x = size / 2
y = size / 2
z = size / 2
top_left = np.array([-x, y, -z])
top_right = np.array([x, y, -z])
bottom_left = np.array([-x, -y, -z])
bottom_right = np.array([x, -y, -z])
corners = np.array([top_left, top_right, bottom_left, bottom_right])
corners = corners @ R.T + cam_pos.reshape(1, -1)
view_dir = view_dir @ R.T

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