已知AX=XA、BX=XB，那么X是单位阵吗？怎么证明？

Question

已知一个矩阵X和多个不同的矩阵A、B、C等，矩阵均可逆且均不为零矩阵
有AX=XA、BX=XB、CX=XC等，
那么X有什么特点？X是单位阵吗？怎么证明？

Answer 1

该回答通过自己思路及引用到GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ搜索,得到内容具体如下：
已知AX=XA、BX=XB、CX=XC，我们需要证明X是否是单位阵。

首先，我们知道单位矩阵I具有一个非常重要的性质：对于任意矩阵A，有AI=IA=A。

现在，我们来证明X也具有这个性质，即证明对于任意矩阵A，有AX=XA。

对于任意矩阵A，我们有：

AXB = ABX （根据AX=XA和BX=XB）

CAXB = CABX （左乘C）

CAXBXC^-1 = CABXCX^-1 （右乘C^-1）

CA = AC

因此，我们可以得出结论：对于任意矩阵A，都有AX=XA。这意味着X是一个可交换的矩阵。

但是，仅仅因为矩阵X可交换并不足以证明它是单位矩阵。因此，我们需要进一步证明X是否是对角矩阵。

考虑矩阵B和C的情况，由于BX=XB和CX=XC，我们有：

BXC = XBC = XCB

将上式左乘X^-1，右乘C^-1，得到：

BX = XC

因此，我们可以得出结论：对于所有可逆矩阵B和C，都有BX=XC。这意味着X是一个对角矩阵。

综上所述，我们可以得出结论：矩阵X既是可交换矩阵，又是对角矩阵，因此它是单位矩阵。

---

如果以上回答对您有所帮助，点击一下采纳该答案～谢谢