求解常微分方程初值问题

Question

分别采用欧拉法，改进欧拉方法分别求解求解常微分方程初值问题 y’=-4yy+2x+e^(-x)，y(0)=2.46，计算区间为[0, 1]，步长为 0.1

Answer 1

欧拉法的公式为：$y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)$

改进欧拉法的公式为：$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_i+hf(x_i,y_i)))$

在MATLAB中，可以使用以下代码实现：

% 定义常微分方程
f = @(x,y) -4*y*y+2*x+exp(-x);

% 定义初始值和步长
x0 = 0;
y0 = 2.46;
h = 0.1;

% 计算步数
n = (1-x0)/h;

% 初始化欧拉法和改进欧拉法的结果
y_euler = zeros(n+1,1);
y_improved_euler = zeros(n+1,1);

% 将初始值存入结果数组
y_euler(1) = y0;
y_improved_euler(1) = y0;

% 使用欧拉法和改进欧拉法求解常微分方程
for i = 1:n
    x_i = x0 + (i-1)*h;
    y_i = y_euler(i);
    y_euler(i+1) = y_i + h*f(x_i,y_i);
    
    y_i = y_improved_euler(i);
    y_improved_euler(i+1) = y_i + (h/2)*(f(x_i,y_i)+f(x_i+h,y_i+h*f(x_i,y_i)));
end

% 输出结果
disp(['欧拉法结果：',num2str(y_euler(end))]);
disp(['改进欧拉法结果：',num2str(y_improved_euler(end))]);