MATLAB用豪斯道夫维数算一张图片的维数

Question

在分形维数中利用豪斯道夫维数用MATLAB编程，算一张图片的维数

Answer 1

豪斯道夫维数（Hausdorff dimension）是一种分形维数的计算方法，它可以通过在图像上覆盖一系列的正方形或圆形来计算。具体来说，假设对于长度为l的正方形或圆形，需要n(l)个这样的正方形或圆形才能完全覆盖整个图像，那么该图像的豪斯道夫维数就可以通过以下公式计算：

$d_H = \lim_{l\to0} \frac{\log(n(l))}{\log(1/l)}$

其中，$d_H$ 表示豪斯道夫维数。

下面给出一个简单的 MATLAB 实现代码：

% 读入图像
img = imread('test.png');

% 将图像转换为二值图像
bw_img = im2bw(img);

% 选择正方形边长范围
ls = 1:1:30;

% 计算每个边长下的覆盖数量
n = arrayfun(@(l) coverCount(bw_img, l), ls);

% 计算豪斯道夫维数
dh = polyfit(log(ls), log(n), 1);
dh = dh(1);

% 显示结果
disp(['豪斯道夫维数: ' num2str(dh)]);

% 绘制 log-log 图像
plot(log(ls), log(n), 'o');
xlabel('log(l)');
ylabel('log(n)');
title(['Hausdorff dimension: ' num2str(dh)]);

function n = coverCount(img, l)
    % 计算每个边长下的覆盖数量
    [h, w] = size(img);
    n = 0;
    for x = 1:l:w-l+1
        for y = 1:l:h-l+1
            if any(any(img(y:y+l-1, x:x+l-1)))
                n = n + 1;
            end
        end
    end
end

该代码读入一张图像（假设为 test.png），将其转换为二值图像，然后选择正方形边长范围，并计算每个边长下的覆盖数量。最后，通过线性拟合计算豪斯道夫维数，并在 log-log 图像上绘制出结果。

需要注意的是，在实际操作中，覆盖数量的计算需要消耗大量计算资源，因此需要选择合适的正方形边长范围，并通过并行计算等方法提高计算效率。