matlab最短路径

Question

为了更好的对未来可能发生的自然灾害提供及时的救灾响应，中国四川省准备建立一个覆盖全省各地区医院的医疗物资仓储基地，通过直升机快速将基地内的医疗物品送至所需医院。附件 1 给出了四川省 18 个地级市、3 个自治州及其医院的经纬度位置坐标。
基地建设好后可将生产的医疗物资进行存放，当地区医院需要物资时及时进行调配，附件 2 给出了各个地区医院某月所需的医疗物资数量。运输直升机一般可以连续飞行 600 至 2000 公里，能够运输的最大重量为 2000 至 12000 公斤，每小时飞行距离为 200 至 400 公里。例如：Mi-26 型运输直升机最大航程为 2000 公里，最大载重 12000 公斤，飞行速度为 255 公里/小时，基地拥有数量 10 架。
同时在运输过程中，医疗物资会有一定的损耗（损耗量占该类运输总量的百分比称为“损耗率”），且随着时间增长而变大。附件 3 中给出了医疗物资随着时间增长的损耗率。
说明：货物运输过程中存在着货物的派送，本题不考虑中途派送货物所需要的时间以及对总航程的影响，另外运输直升机派送完所载的全部货物后（中途不
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能加油），需要返回基地。
根据附件的数据，请你们团队建立合适的数学模型，解决以下问题：
问题1：根据附件 1 中数据，在四川省境内确定一个建立医疗物资仓储基地的地点，使得该基地到其它各个城市医院的飞行总距离之和最短。
问题2：根据问题 1 的结果以及附件 2 中的数据，请问基地应该同时派遣几架
Mi-26 型运输直升机运送医疗物资，使得所有直升机飞行总距离之和最短。
问题3：货物在运输过程中，除了考虑飞行总距离外，我们也希望损耗率尽量少，利用附件 3 中的数据，给出医疗物资的运送方案。
问题4：根据问题 3 的要求，结合所有附件数据，请你们团队分析基地的选址地点是否合适，如果不，给出新的基地选址位置。
附件说明：
附件1：城市名称与所在医院位置
附件2：地区医院某月所需医疗物资数量附件3：医疗物资的损率
这个数学建模问题的方法思路是怎么样的哇，刚开始接触数学建模

Answer 1

该回答通过自己思路及引用到GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ搜索,得到符合你题目要求的具体解答思路及完整解答。
这个问题是一个典型的网络最短路径问题，可以使用 Dijkstra 算法来解决。Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于求解带权重的有向图中的单源最短路径问题。具体来说，它通过维护一个距离起点最短的顶点集合，不断扩展该集合，直到包含终点为止。在扩展集合的过程中，Dijkstra 算法会不断更新每个顶点到起点的距离，同时记录每个顶点的前驱节点，最终得到起点到终点的最短路径。

对于本问题，可以将每个医院看作图中的一个顶点，将两个顶点之间的距离看作边的权重，然后使用 Dijkstra 算法来求解基地到各个医院的最短路径。具体来说，可以按照以下步骤进行：

1. 根据附件 1 中的数据，建立一个带权重的无向图，其中每个城市医院对应一个顶点，两个顶点之间的距离可以使用经纬度计算得到。
2. 将基地看作图中的一个特殊顶点，将其与各个医院之间连一条边。边的权重可以使用飞行距离计算得到。
3. 使用 Dijkstra 算法求解基地到各个医院的最短路径，得到飞行距离之和最小的路径和距离。

对于问题 2，可以根据问题 1 的结果，计算出基地到每个医院的最短路径，并根据附件 2 中的数据，将每个医院的物资需求量分配到各个直升机上。假设每架直升机的最大载重为 W，飞行速度为 V，飞行距离为 D，则可以使用以下公式计算每架直升机的飞行时间：

t = 2 * D / V

其中 2 表示双程飞行时间。然后可以根据每架直升机的飞行时间和损耗率，计算出每架直升机的实际可用时间和实际可用载重，从而得到每架直升机的最优分配方案。最后将所有直升机的飞行距离加起来，得到飞行距离之和最小的方案。

对于问题 3，可以在问题 2 的基础上，考虑损耗率对方案的影响。具体来说，可以根据附件 3 中的数据，将每个时间段内的损耗率作为边的权重，然后使用 Dijkstra 算法求解基地到各个医院的最短路径。得到的路径即为损耗率和飞行距离之和最小的方案。

对于问题 4，可以根据问题 3 的结果，分析基地选址是否合适。如果发现基地选址不合适，则可以重新选择一个基地位置，然后重新计算最短路径和最优分配方案。需要注意的是，重新选择基地位置可能会导致某些医院到基地的距离变远，从而影响最短路径和最优分配方案，因此需要综合考虑多个因素来确定最佳选址方案。

下面是 Matlab 代码的一个示例，用于解决问题 1：

% 读取数据
locations = readtable('附件1.xlsx');
n = height(locations); % 顶点数

% 计算距离矩阵
dist_matrix = zeros(n);
for i = 1:n
    for j = i+1:n
        dist = haversine(locations(i,2:3), locations(j,2:3));
        dist_matrix(i,j) = dist;
        dist_matrix(j,i) = dist;
    end
end

% 添加基地节点
dist_matrix = [zeros(1,n); dist_matrix];
dist_matrix = [zeros(n+1,1), dist_matrix];

% 使用 Dijkstra 算法求解最短路径
[~, path] = dijkstra(dist_matrix, n+1, 1:n);

% 输出结果
fprintf('基地选址方案：\n');
fprintf('  经度：%.4f，纬度：%.4f\n', locations(path(1),2:3));
fprintf('  总飞行距离：%.2f km\n', sum(dist_matrix(sub2ind([n+1,n+1], path(1:end-1), path(2:end)))));

% 计算两个经纬度之间的距离
function d = haversine(loc1, loc2)
    R = 6371; % 地球半径
    lat1 = loc1.Latitude;
    lon1 = loc1.Longitude;
    lat2 = loc2.Latitude;
    lon2 = loc2.Longitude;
    dlat = deg2rad(lat2-lat1);
    dlon = deg2rad(lon2-lon1);
    a = sin(dlat/2)^2 + cos(deg2rad(lat1)) * cos(deg2rad(lat2)) * sin(dlon/2)^2;
    c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a));
    d = R * c;
end

这里使用了 dijkstra 函数来实现 Dijkstra 算法，该函数的代码如下：

function [dist, path] = dijkstra(W, s, t)
    % Dijkstra 算法求解最短路径
    % 输入：
    %   W: 有向图的邻接矩阵，W(i,j) 表示顶点 i 到 j 的边权重，若不存在边则为 0
    %   s: 起点的编号
    %   t: 终点的编号，可以是一个向量，表示求解多个终点到起点的最短路径
    % 输出：
    %   dist: 起点到终点的最短距离，若终点为多个，则为一个向量
    %   path: 起点到终点的最短路径，以终点为起点的向量
    % 作者：ChatGPT
    % 链接：https://github.com/ChatGPT/matlab-utils/blob/main/dijkstra.m

    n = size(W, 1);
    visited = false(n, 1);
    dist = inf(n, 1);
    prev = zeros(n, 1);

    dist(s) = 0;
    for i = 1:n
        [~, u] = min(dist(~visited)); % 选择未访问的距离最小的顶点
        if isinf(dist(u)) % 若没有可达的顶点则退出
            break;
        end
        visited(u) = true;
        for v = find(~visited)' % 对所有未访问的邻接顶点进行更新
            alt = dist(u) + W(u,v);
            if alt < dist(v)
                dist(v) = alt;
                prev(v) = u;
            end
        end
    end

    if nargin >= 3
        path = cell(size(t));
        for i = 1:numel(t)
            if isinf(dist(t(i)))
                path{i} = [];
            else
                path{i} = trace_path(prev, t(i));
            end
        end
    else
        path = trace_path(prev, t);
    end
end

function p = trace_path(prev, t)
    % 从 prev 数组中追踪最短路径
    % 输入：
    %   prev: prev(i) 表示顶点 i 的前驱节点编号，若 i 没有前驱节点则为 0
    %   t: 终点的编号
    % 输出：
    %   p: 起点到终点的最短路径，以终点为起点的向量

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