用MATLAB解线性方程

Question

求下面几题的思路和完整代码，用MATLAB里用迭代法解线性方程组，在MATLAB里计算插值

Answer 1

用迭代法解线性方程组
MATLAB中可以使用多种迭代法求解线性方程组，常见的有Jacobi方法和Gauss-Seidel方法。这里简单介绍一下这两种方法的基本思想。

Jacobi方法：

对于一个n阶矩阵A，将其分解为D-L-U三个矩阵，
A=D-L-U,
A=D−L−U,

其中D是A的对角线部分，L是严格下三角元素，U是严格上三角元素。
2. 将方程组Ax=bAx=b改写成(D-L-U)x=b(D−L−U)x=b，然后迭代求解x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}bx
(k+1)
=D
−1
(L+U)x
(k)
+D
−1
b，其中x^{(k)}x
(k)
表示第k次迭代得到的近似解。
3. 设定合适的初始值x^{(0)}x
(0)
和停止准则，进行迭代直到满足停止准则。

Gauss-Seidel方法：

对于一个n阶矩阵A，将其分解为D-L-U三个矩阵，
A=D-L-U,
A=D−L−U,

其中D是A的对角线部分，L是严格下三角元素，U是严格上三角元素。
2. 将方程组Ax=bAx=b改写成(D-L)x=Ux+b(D−L)x=Ux+b，然后迭代求解：

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}[b_i-\sum^{i-1}{j=1}a{ij}x_j^{(k+1)}-\sum^{n}{j=i+1}a{ij}x_j^{(k)}],i=1,2,…,n,
x
i
(k+1)
​
=
a
ii
​

1
​
[b
i
​
−
j=1
∑
i−1
​
a
ij
​
x
j
(k+1)
​
−
j=i+1
∑
n
​
a
ij
​
x
j
(k)
​
],i=1,2,…,n,

其中x^{(k+1)}x
(k+1)
表示第k+1次迭代得到的近似解。
3. 设定合适的初始值x^{(0)}x
(0)
和停止准则，进行迭代直