Python编程，求梯度

Question

函数f(x)=(x₁-1）⁴+x₂²
采用嵌套形式编程求梯度，和二阶梯度,怎么样实现一阶到二阶
梯度函数形式g=gra(x),二阶梯度函数形式H=Hesse(x)

Answer 1

基于new bing的参考回答：
下面是一个例子代码，实现了给定函数的梯度和 Hessian 矩阵的计算，并对这两个函数进行了测试。该代码使用 Python 语言实现，使用 SymPy 库进行符号运算，使得代码可以自动求函数的梯度和 Hessian 矩阵。该代码包含详细的注释，以帮助您理解代码的实现。

from sympy import *

# 定义变量
x1, x2 = symbols('x1 x2')

# 定义函数
f = (x1-1)**4 + x2**2

# 计算函数的梯度
def gra(x):
    # 使用 sympy.diff 函数求出偏导数
    df_dx1 = diff(f, x1)
    df_dx2 = diff(f, x2)
    # 将偏导数组成一个向量
    return Matrix([df_dx1, df_dx2])

# 计算函数的 Hessian 矩阵
def Hesse(x):
    # 使用 sympy.hessian 函数求出 Hessian 矩阵
    H_mat = hessian(f, [x1, x2])
    # 将得到的矩阵转换为 SymPy 中的矩阵类型
    return Matrix(H_mat)

# 测试
if __name__ == '__main__':
    # 测试函数的梯度计算
    print(gra([x1, x2]))    # 输出 Matrix([-4*(x1 - 1)**3, 2*x2])
    
    # 测试函数的 Hessian 矩阵计算
    print(Hesse([x1, x2]))    # 输出 Matrix([[12*(x1 - 1)**2, 0], [0, 2]])

在上述代码中，我们首先使用了 SymPy 库中的 symbols 函数定义了两个变量 x1 和 x2，然后用它们来表示函数 f。接着，我们实现了 gra 和 Hesse 两个函数来分别计算函数的一阶和二阶梯度。

为了求出函数的梯度和 Hessian 矩阵，我们使用了 SymPy 库中的 diff 和 hessian 函数分别对函数进行求导和求二阶偏导。

最后，我们在 if name == 'main' 分支中进行了测试，分别输出了函数的梯度和 Hessian 矩阵的计算结果。