计量经济学面板数据的相关问题

Question

以上为计量经济学面板数据的两道题目，请说明详细推导过程，谢谢！

Answer 1

可以借鉴下

用2SLS拟合的回归模型的诊断是一个相对被忽视的话题，但Belsley, Kuh和Welsch(1980, 266-68)简要地讨论了这个问题。删除诊断法直接评估每个案例对拟合回归模型的影响，方法是删除案例，重新拟合模型，并注意到回归系数或其他回归输出，如残差标准差，如何变化。

对于有影响的数据，总是可以通过粗暴的计算来获得案例删除诊断，即用每个案例依次删除来重新拟合模型，但这种方法效率低下，因此在大样本中没有吸引力。对于某些类别的统计模型，如广义线性模型（如Pregibon 1981），对个案删除诊断的计算要求较低的近似值是可用的，而对于线性模型，有效的 "更新 "公式是可用的（如Belsley, Kuh, and Welsch 1980所描述的），允许精确计算个案删除诊断的。

事实证明，正如Belsley、Kuh和Welsch所指出的，Phillips（1977年，公式15和16）给出了2SLS回归的精确更新公式，允许有效地计算个案选择统计。



其中，b2SLS-i是去除第ii种情况后的2SLS回归系数向量，以及



这里，yi是第i个案例的因变量值，x⊤ixi⊤是模型矩阵X的第i行，z⊤izi⊤是工具变量模型矩阵Z的第i行。

Belsley, Kuh和Welsch特别研究了（用我们的符号）dfbetai=b2SLS-b2SLS-i的值。他们还讨论了残差标准差s-i的删除值。

然后，Belsley、Kuh和Welsch计算它们对拟合值(和回归系数)影响的综合度量dffits为



其中（如前）x⊤ixi⊤是模型矩阵X的第i行，XˆX^是第二阶段回归变量的模型矩阵。

让



代表将y转换为拟合值的n×n矩阵，yˆ=H∗y。在OLS回归中，类似的量是hat矩阵H=X（X⊤X）-1X⊤。Belsley, Kuh和Welsch指出，H∗与H不同，它不是一个正交投影矩阵，将y正交地投影到X的列所跨越的子空间上。特别是，尽管H∗和H一样，是等值的（H∗=H∗H∗），并且trace(H∗)=ptrace(H∗)=p，但H∗和H不同，是不对称的，因此它的对角线元素不能被当作杠杆的总结性措施，也就是说，不能被当作hat值。

Belsley, Kuh和Welsch建议简单地使用第二阶段回归的hat值。这些是H2=Xˆ(Xˆ⊤Xˆ)-1Xˆ⊤的对角线条目hi=hii。我们在下面讨论一些替代方案。

除了hatvalues、dfbeta、s-i和dfits之外，还计算cook距离Di，这基本上是dfits的一个稍有不同的比例版本，它使用总体残差标准差s来代替删除的标准差s-i。



因为它们具有相等的方差，并且在正态线性模型下近似于t分布，所以 studentized残差对于检测异常值和解决正态分布误差的假设非常有用。studentized残差与OLS回归相类似，定义为



其中ei=yi-x⊤ib 2SLS是第i种情况的因变量残差。

如前所述，Belsley, Kuh, and Welsch (1980)建议使用第二阶段回归的 hatvalues。这是一个合理的选择，但是它有可能遗漏那些在第一阶段有高杠杆率但在第二阶段回归中没有的案例。让h(1)i代表第一阶段的hatvalues，h(2)i代表第二阶段的hatvalues。如果模型包括一个截距，两组hatvalues都以1/n和1为界，但第一阶段的平均hatvalues是q/n，而第二阶段的平均hatvalues是p/n。为了使两个阶段的hatvalues具有可比性，我们将每个hatvalues除以其平均值，h(1∗)i=h(1)iq/n；h(2∗)i=h(2)ip/n。然后我们可以把两阶段的hatvalue定义为每种情况下两者中较大的一个，hi=(p/n)×max(h(1∗)i,h(2∗)i)，或者定义为它们的几何平均。



异常数据诊断
标准的R回归模型通用方法，包括anova()（用于模型比较），predicted()用于计算预测值，model.matrix()（用于模型或第一或第二阶段的回归），print()，residuals()（有几种），summary()，update()，和vcov()。

例子
数据在Kmenta（1986年）中用来说明（通过2SLS和其他方法）对线性联立方程计量经济学模型的估计。这些数据代表了经济从1922年到1941年的年度时间序列，有以下变量。

Q,人均食品消费
P，食品价格与一般消费价格的比率
D, 可支配收入
F, 前一年农民收到的价格与一般消费价格的比率
A, 年为单位的时间
该数据集很小，我们可以对其进行检查。



估计以下两个方程式模型，第一个方程式代表需求，第二个代表供应。



变量D、F和A被视为外生变量，当然常数回归因子（一列1）也是如此，而两个结构方程中的P是内生解释变量。由于有四个工具变量可用，第一个结构方程有三个系数，是过度识别的，而第二个结构方程有四个系数，是刚刚识别的。

外生变量的数值是真实的，而内生变量的数值是由Kmenta根据模型生成（即模拟）的，参数的假设值如下。



解决内生变量P和Q的结构方程，可以得到模型的简化形式



Kmenta独立地从N(0,1)中抽出20个δ1和δ2的值，然后设定ν1=2δ1和

 

结构方程估计如下（比较Kmenta 1986, 686）。





默认情况下，summary()会输出2SLS回归的三个 "诊断 "测试的结果。这些测试不是本文的重点，所以我们只对它们进行简单的评论。

一个好的工具变量与一个或多个解释变量高度相关，同时与误差保持不相关。如果一个内生的回归者与工具变量只有微弱的关系，那么它的系数将被不精确地估计。在弱工具的诊断测试中，我们希望有一个大的测试统计量和小的p值，Kmenta模型中的两个回归方程就是如此。