这篇文章最后说微元变换实际可以看做是线性的,但我们要求的结果本质上是微分的级数呀
存在x=g(u,v),y=h(u,v),则kdudv(0≤k<1的常数)的级数和dudv的级数是否相等(这里的k相当于叉乘的模中的正弦值)
如果存在x=g(u,v),y=h(u,v),那么按照偏导数的定义,我们可以得到:
kdudv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v)du dv
又因为:
dudv = (∂u/∂x)(∂v/∂y)dy dx
代入x=g(u,v),y=h(u,v),我们有:
dudv = (∂u/∂g)(∂v/∂h)dxdy
根据链式法则,我们有:
∂u/∂g = (∂g/∂u)^(-1)
∂v/∂h = (∂h/∂v)^(-1)
将其代入dudv中,可以得到:
dudv = (∂h/∂v)(∂g/∂u) dxdy
将上述表达式代入kdudv中,有:
kdudv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v) du dv = k (∂g/∂u)(∂h/∂v) (∂h/∂v)(∂g/∂u) dxdy
可以看到,kdudv是dxdy的系数的k倍,因此它们的级数是不相等的。
所以明显不能看成线性的,如果是线性变换的话,向量dx和dy之间的夹角为90度,那么向量du和dv之间的夹角也可以看成90度,但明显看成90度之后向量du和dv叉乘结果的模变化了
这个问题咋解释
证明二重积分换元法公式中dxdy=|J|dudv中存在的疑惑
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- 喝茶品人生 2023-06-02 21:09关注
雅可比矩阵的所有元素你都可以认为是偏导数,kdudv和dxdy之间的线性关系我们用雅可比来表示,你仔细想想偏导定义在哪里?坐标如果变了,级数还会相等吗
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