分支定界法求最短路问题

Question

看清楚了，不是用d算法，是用分支定界法来，最后要写成MATLAB编码。

Answer 1

我可以编写MATLAB代码来实现分支定界法求解最短路径问题。首先，我需要基于图形输入数据，创建图形数组，并将其转换为邻接矩阵表示。然后，我需要实现一个函数来利用Dijkstra算法求解初始路径的长度和路径。接下来，我需要实现一个递归函数来将搜索空间分割成子集，计算每个子集的下界和上界，并在下界大于全局最短距离或者上界小于全局最短距离时进行剪枝操作。最后，我需要使用分支定界法搜索整个搜索空间来获得最短路径和路径长度。以下是一些伪代码示例。

创建邻接矩阵：

% 输入图形矩阵，创建邻接矩阵
function [A] = createadjacencymatrix(G)
    % 首先初始化 A 为无穷大
    A = Inf(size(G, 1), size(G, 1));
    % 对于所有的边赋值为边的权值
    for i = 1:size(G, 1)
        for j = 1:length(G{i})
            A(i, G{i}(j)) = G{i}(j+1);
        end
    end
end

计算初始路径长度和路径：

% 使用 Dijkstra 算法计算最短路径
function [path, d] = dijkstra(A, source, target)
    n = size(A, 1);
    d = Inf(1, n);
    d(source) = 0;
    visited = false(1, n);
    previous = zeros(1, n);
    for i = 1:n
        % 找到当前距离最短的节点
        [~, cur] = min(d(~visited));
        % 如果当前节点是目标节点，则返回最短路径和路径长度
        if cur == target
            break;
        end
        % 更新距离
        visited(cur) = true;
        neighbors = find(A(cur, :) > 0);
        for j = 1:length(neighbors)
            neighbor = neighbors(j);
            if ~visited(neighbor)
                newd = d(cur) + A(cur, neighbor);
                if newd < d(neighbor)
                    d(neighbor) = newd;
                    previous(neighbor) = cur;
                end
            end
        end
    end
    % 构造最短路径
    if isinf(d(target))
        path = [];
    else
        path = target;
        while path(1) ~= source
            path = [previous(path(1)), path];
        end
    end
end

分支定界法递归函数：

function [min_length, min_path] = branchAndBound(A, source, target)
    % 初始化全局最短路径和距离
    global min_length;
    global min_path;
    % 如果只有一个节点，直接返回节点距离和路径
    if source == target
        min_length = 0;
        min_path = [source];
        return
    end
    % 计算初始距离和路径
    [initial_path, initial_length] = dijkstra(A, source, target);
    % 初始化节点访问状态为 0
    visited = zeros(1, size(A, 1));
    visited(source) = 1;
    % 初始化下界和上界为初始长度
    lower_bound = initial_length;
    upper_bound = initial_length;
    % 初始化队列为初始路径
    queue = cell(1, length(initial_path)-1);
    for i = 1:length(queue)
        queue{i} = initial_path(i);
    end
    % 开始分支定界算法
    branchAndBoundHelper(A, visited, target, queue, lower_bound, upper_bound);
    min_length = min_length + A(min_path(end-1), min_path(end));
end

分支定界法递归函数的辅助函数：

% 分支定界算法辅助函数（递归函数）
function branchAndBoundHelper(A, visited, target, queue, lower_bound, upper_bound)
    global min_length;
    global min_path;
    if isempty(queue)
        return
    end
    % 从队列头取出一条路径
    path = queue{1};
    queue(1) = [];
    % 计算路径的最后一个节点
    node = path(end);
    % 对于每个能到达的节点，进行分支操作
    neighbors = find(A(node, :) > 0);
    for i = 1:length(neighbors)
        neighbor = neighbors(i);
        if ~visited(neighbor)
            % 对新节点进行访问操作
            visited(neighbor) = 1;
            % 将路径延伸到新节点
            new_path = [path neighbor];
            % 计算新路径的长度
            new_length = sum(A(sub2ind(size(A), new_path(1:end-1), new_path(2:end))));
            % 如果新路径比已知的上界小，则更新上界
            if new_length < upper_bound
                upper_bound = new_length;
            end
            % 如果新路径比已知的下界大，则进行剪枝操作
            if new_length >= lower_bound
                visited(neighbor) = 0;
                continue
            end
            % 如果新节点是终点，更新最短路径和路径长度
            if neighbor == target
                min_path = new_path;
                min_length = new_length;
                lower_bound = new_length;
            else
                % 将延伸的路径添加到队列尾部
                queue{end+1} = new_path;
            end
            % 对新节点进行递归搜索
            branchAndBoundHelper(A, visited, target, queue, lower_bound, upper_bound);
        end
    end
end