请问第五题中为什么选c不选a啊，这两个的区别在哪里啊

Question

本人大一学生最近在做线代的复习，做到了这样问题很疑惑没有思路，求解答一下!

Answer 1

首先，由于 $$\eta _{1},\eta _{2},\eta _{3}$$ 是非齐次线性方程组 $$Ax=\beta$$ 的3个线性无关的解，即 $$A\eta _{1}=\beta, A\eta _{2}=\beta, A\eta _{3}=\beta$$ ，所以有：

$$A(\eta _{2}-\eta _{1})=A\eta _{2}-A\eta _{1}=\beta - \beta=0$$

$$A(\eta _{3}-\eta _{1})=A\eta _{3}-A\eta _{1}=\beta - \beta=0$$

因此， $$\eta _{2}-\eta _{1}$$ 和 $$\eta _{3}-\eta _{1}$$ 是 $$A$$ 的零空间的向量，即 $$A(\eta _{2}-\eta _{1})=0, A(\eta _{3}-\eta _{1})=0$$ 。

所以，对于任意 $$Ax=\beta$$ 的解 $$x$$，必然可以表示为 $$x=\eta_1+v$$ 的形式，其中 $$v$$ 满足 $$Av=0$$。

考虑 $$v$$ 的形式，由于 $${\eta _{2}-\eta _{1},\eta _{3}-\eta {1}}$$ 是 $$A$$ 的零空间的一组基，所以 $$v$$ 可以写成 $$v=c{1}(\eta _{2}-\eta {1})+c{2}(\eta _{3}-\eta _{1})$$ 的形式。

将 $$x=\eta_1+v$$ 代入 $$Ax=\beta$$ 中，得到：

$$A(\eta_1+v)=A\eta_1+Av=\beta$$

由于 $$Av \in \operatorname{ker}(A)$$ ，所以 $$A\eta_1=\beta$$ 成立，因此有：

$$A(\eta_1+v)=\beta$$

对上式化简，得：

$$Av=\beta-A\eta_{1}$$

又因为 $$\frac{\eta_{2}+\eta_{3}}{2}$$ 是 $$Ax=\beta$$ 的一个特解，所以：

$$A\left(\frac{\eta _{2} + \eta _{3}}{2}\right) = \beta$$

综上所述，$$Ax=\beta$$ 的通解为：

$$x= \frac{\eta _{2} + \eta {3}}{2} + k{1}(\eta _{2}-\eta {1}) + k{2}(\eta _{3}-\eta _{1})$$

这是一个线性组合，$$k_{1}$$ 和 $$k_{2}$$ 是任意常数，因此可以得出以上结果。

祝:早日上岸 , 如有帮助给个采纳谢谢