正在做伪谱和凸优化结合,目前给出了一个初始轨迹,但是定义域不是[-1,1].看的文献一直没弄懂区间变换,怎么将微分方程的定义域转换到τ呢?
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据分析-微分方程-微分方程求解-解决微分方程问题的基本方法是利用数值逼近方法,在一个离散化的区间内,通过递推公式计算出待求量的近似值。常见的数值解法有欧拉法、龙格库塔法等。在实际中如果函数在某个区间内很复杂,难以得到一般解,需要使用数值解法来求解初始值问题,即在已知初值的情况下求解微分方程。若要解决伪谱凸优化问题,需要将微分方程的定义域从原始区间转换到τ所表示的新区间。具体做法可以将原始区间分成若干小区间,在小区间内采用低次插值,如二次、三次插值,来避免Runge现象。下面给出伪谱法解微分方程的MATLAB示例代码:
function ydiff = odeExample(t, y, a, b, c) % Define the differential equation ydiff = [y(2); a*y(2) - b*y(1) - c*y(1)^3]; end function [x,y] = pseudoSpectralMethod(a,b,c,x0) N = 64; % Number of collocation points x = linspace(-1,1,N)'; % Chebyshev collocation nodes x = (x+1)*(b-a)/2 + a; % Change the interval to [a,b] % Define the function handle for the differential equation f = @(t, y) odeExample(t, y, a, b, c); % Define the boundary conditions bc1 = x(1) - x0; % y(a) = x0 bc2 = f(0, [1 0]); % y'(0) = f([1 0]) % Formulate the optimization problem prob = bvpInit(f, bc1, bc2, x, 'Chebyshev', N-1); % Solve the optimization problem using bvpSolve soln = bvpSolve(prob); % Evaluate the solution at the collocation points y = soln.y(:,1); % Plot the solution figure; plot(x, y, 'o-'); title('Pseudospectral solution of ODE'); xlabel('x'); ylabel('y'); end
其中bvpInit和bvpSolve来自MATLAB的辅助求解函数包bvp4c,用于求解边值问题和初始值问题。
参考资料: - MATLAB数值计算之常微分方程的初始值问题求解 - 伪谱法求解微分方程
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