伪谱凸优化的定义域转换

Question

正在做伪谱和凸优化结合，目前给出了一个初始轨迹，但是定义域不是[-1,1].看的文献一直没弄懂区间变换，怎么将微分方程的定义域转换到τ呢？

Answer 1

据分析-微分方程-微分方程求解-解决微分方程问题的基本方法是利用数值逼近方法，在一个离散化的区间内，通过递推公式计算出待求量的近似值。常见的数值解法有欧拉法、龙格库塔法等。在实际中如果函数在某个区间内很复杂，难以得到一般解，需要使用数值解法来求解初始值问题，即在已知初值的情况下求解微分方程。若要解决伪谱凸优化问题，需要将微分方程的定义域从原始区间转换到τ所表示的新区间。具体做法可以将原始区间分成若干小区间，在小区间内采用低次插值，如二次、三次插值，来避免Runge现象。下面给出伪谱法解微分方程的MATLAB示例代码：

function ydiff = odeExample(t, y, a, b, c)
% Define the differential equation
ydiff = [y(2); a*y(2) - b*y(1) - c*y(1)^3];
end

function [x,y] = pseudoSpectralMethod(a,b,c,x0)
N = 64; % Number of collocation points
x = linspace(-1,1,N)'; % Chebyshev collocation nodes
x = (x+1)*(b-a)/2 + a; % Change the interval to [a,b]

% Define the function handle for the differential equation
f = @(t, y) odeExample(t, y, a, b, c);

% Define the boundary conditions
bc1 = x(1) - x0; % y(a) = x0
bc2 = f(0, [1 0]); % y'(0) = f([1 0])

% Formulate the optimization problem
prob = bvpInit(f, bc1, bc2, x, 'Chebyshev', N-1);

% Solve the optimization problem using bvpSolve
soln = bvpSolve(prob);

% Evaluate the solution at the collocation points
y = soln.y(:,1);

% Plot the solution
figure;
plot(x, y, 'o-');
title('Pseudospectral solution of ODE');
xlabel('x');
ylabel('y');
end

其中bvpInit和bvpSolve来自MATLAB的辅助求解函数包bvp4c，用于求解边值问题和初始值问题。

参考资料： - MATLAB数值计算之常微分方程的初始值问题求解 - 伪谱法求解微分方程