对函数f在半闭区间[a,＋∝）连续，则f是否在[a,＋∝）存在最大，最小值的证明

Question

对照函数f在[a, b]连续，则存在最大最小值的证明:

下面是我自己对函数在[a,＋∝）是否存在最大最小值的证明，但是这个②证明是错的，因为可以举反例，我自己不知道哪里错了，希望大家帮忙指正:

Answer 1

您好,我看了您的证明,发现有两个问题:

1. 反例证明法不适用于此问题。因为[a,+∞)是开区间,所以任何函数在此区间都可能无上界或无下界,无法举出反例。
2. 您的第一条证明“若f连续,则存在极值点”是正确的,但并不意味着一定存在最大值或最小值。因为极值点也可能是局部极值,而非全局极值。
   我的证明思路如下:
3. 设定函数f在[a,+∞)连续。
4. 考虑f在[a, b]的任意区间,由于f在[a, b]连续,根据极值定理,f必存在最大值M和最小值m。
5. 令b → +∞,则有:
   lim M = M∞ (1)
   lim m = m∞ (2)
6. 若M∞存在(即(1)式成立),则M∞为f在[a,+∞)的最大值。若m∞存在(即(2)式成立),则m∞为f在[a,+∞)的最小值。
7. 因此,若(1)和(2)同时成立,则f在[a,+∞)同时存在最大值M∞和最小值m∞。若只有(1)成立,则f在[a,+∞)存在最大值M∞。若只有(2)成立,则f在[a,+∞)存在最小值m∞。
8. 综上,函数f在[a,+∞)连续,则至少存在最大值或最小值(可能同时存在)。