求多项多次式，展开合并同类项后，有多少项(项数)？

Question

求多项多次式，展开合并同类项后，有多少项(项数)：(X₁+X₂+X₃…X₍ₐ₋₁₎+Xₐ)ᵇ？用a，b表达这个项数，a，b均为正整数。

Answer 1

展开后，该式子的每一项都是由从括号中选出 b 个元素，再根据这些元素的指数求和的方式得到的。其中，每个元素可以选中 0 次或多次，因此每个元素对应的指数可以是从 0 到 b 的任意一个整数。

使用组合数学中的“多重集合组合”思想来计算该式子的项数。将括号中的元素看做是一个大小为 a 的多重集合，其中每个元素出现的次数都是 1。这样，从多重集合中选出 b 个元素的方案数就等于从 a+b-1 个元素中选出 b 个元素的方案数，即 Cₐ₊b₋₁,b。

(X₁+X₂+X₃…X₍ₐ₋₁₎+Xₐ)ᵇ 的项数为：Cₐ₊b₋₁,b = (a+b-1)! / (b! * (a-1)!)