用matlab解常微分方程组

Question

我的问题是关于常微分方程组如何用MATLAB进行欧拉或者改进的欧拉法求数值解，但是现在有个问题就是无法将不同变量的微分（da1/dt da2/dt……）挪到等式一边，但是通过矩阵求逆矩则可以，那么新问题又出现了，就是这个逆矩阵又将如何求带入（求解）呢。

这张图片就是把上面的方程组展开了，a1…a4都是关于时间t的变量，t是从0到1，步长h可以任意给定

Answer 1

引用 皆我百晓生 小程序回复内容作答：

对于常微分方程组，可以利用欧拉法或者改进的欧拉法来求解数值解。

首先，将微分方程组转化为矩阵形式。假设有一个n个未知函数的常微分方程组：

dX/dt = A*X + b

其中，X是一个n维向量，A是一个n×n的矩阵，b是一个n维向量。

欧拉法的基本思想是，将时间区间[0, T]分割为N个小区间，每个小区间的时间步长为h = T/N。然后根据微分方程组的离散形式进行迭代求解。

对于欧拉法，迭代公式为：

X(n+1) = X(n) + h*(A*X(n) + b)

其中，X(n)表示第n个时间步的解，X(n+1)表示第n+1个时间步的解。

对于改进的欧拉法，迭代公式为：

X(n+1) = X(n) + h/2 * ((AX(n) + b) + (AX(n+1) + b))

在MATLAB中，可以使用循环结构来实现迭代过程，逐步计算出近似解。

以下是用MATLAB实现欧拉法求解常微分方程组的示例代码：

% 定义常微分方程组
A = [-1 2; 3 -4];
b = [5; 6];

% 设置参数
T = 1; % 时间区间[0, T]
N = 100; % 将时间区间分割为N个小区间
h = T/N; % 时间步长

% 初始化近似解的数组
X = zeros(2, N+1); % 2维向量，N+1个时间步
X(:, 1) = [0; 0]; % 初始条件

% 使用欧拉法迭代求解

for n = 1:N
    X(:, n+1) = X(:, n) + h*(A*X(:, n) + b);
end

% 绘制数值解

t = linspace(0, T, N+1);
plot(t, X(1, :), 'r', t, X(2, :), 'b');
xlabel('t');
ylabel('X');
legend('X1', 'X2');

需要注意的是，当时间步长h选取得越小，求得的数值解越精确，但计算量也会增加。因此，需要根据具体问题选择合适的时间步长。同时，欧拉法和改进的欧拉法是一阶的强格式数值方法，对于一些刚性问题可能会出现数值不稳定的情况。对于这些问题，可以选择其他高阶精度的数值方法来求解。