多元统计分析 矩阵代数

Question

多元统计分析
矩阵代数
回答图片中的问题，讲解一下是怎么做的，非常感谢啦

Answer 1

【以下回答由 GPT 生成】

问题1：根据给定的X=（x1，x2，x3）～N(μ, Σ），请计算aX的分布是什么？

根据题目给出的信息，X是一个多元正态分布（多元高斯分布），其中X = (x1, x2, x3)，μ是X的均值向量，Σ是X的协方差矩阵。

假设a = (a1, a2, a3)是一个常数向量，我们需要计算aX的分布。

根据多元正态分布的性质，aX仍然是一个多元正态分布，其均值向量为μa = aμ，方差协方差矩阵为Σa = aΣa^T。

下面是具体的计算步骤：

1. 将a与μ相乘，得到均值向量μa = a * μ

```python import numpy as np

a = np.array([a1, a2, a3]) μ = np.array([μ1, μ2, μ3])

μa = a * μ ```

1. 将a与Σ相乘，得到方差协方差矩阵Σa = a * Σ * a^T

python Σ = np.array([[σ1^2, ρ12*σ1*σ2, ρ13*σ1*σ3], [ρ12*σ1*σ2, σ2^2, ρ23*σ2*σ3], [ρ13*σ1*σ3, ρ23*σ2*σ3, σ3^2]]) Σa = np.dot(np.dot(a, Σ), a.T)

至此，我们得到了aX的分布，其中均值向量为μa，方差协方差矩阵为Σa。

问题2：根据给定的X=（x1，x2，x3）～N(μ, Σ）和A，计算AX的分布是什么？

根据题目给出的信息，X是一个多元正态分布（多元高斯分布），其中X = (x1, x2, x3)，μ是X的均值向量，Σ是X的协方差矩阵。

A是一个常数矩阵，我们需要计算AX的分布。

根据多元正态分布的性质，AX仍然是一个多元正态分布，其均值向量为Aμ，方差协方差矩阵为AΣA^T。

下面是具体的计算步骤：

1. 将A与μ相乘，得到均值向量Aμ = A * μ

```python A = np.array([[a11, a12, a13], [a21, a22, a23], [a31, a32, a33]]) μ = np.array([μ1, μ2, μ3])

Aμ = np.dot(A, μ) ```

1. 将A与Σ相乘，得到方差协方差矩阵AΣA^T

python Σ = np.array([[σ1^2, ρ12*σ1*σ2, ρ13*σ1*σ3], [ρ12*σ1*σ2, σ2^2, ρ23*σ2*σ3], [ρ13*σ1*σ3, ρ23*σ2*σ3, σ3^2]]) AΣA^T = np.dot(np.dot(A, Σ), A.T)

至此，我们得到了AX的分布，其中均值向量为Aμ，方差协方差矩阵为AΣA^T。

问题3：如果将X表示为X=(x0, x1, x2)=(0.1, 0, 0）和A=，请计算x0的分布是什么？

根据题目给出的信息，X = (x0, x1, x2) = (0.1, 0, 0)表示X的取值。

A表示一个常数矩阵。

我们需要计算x0的分布，即求解x0的均值和方差。

由题可知，x0的取值为一个常数0.1，其分布为一个确定性分布。

x0的均值为其取值0.1。

x0的方差为0，因为它是一个确定性分布。

综上所述，x0的分布是一个确定性分布，均值为0.1，方差为0。

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