三维三角网的塌陷识别算法

Question

已知有一个场地的三角网模型，如何通过算法将此场地中的 坑洞或者土丘的边界分析出来。

Answer 1

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  假设 P0P_0P0​ 是可列的，将 P0P_0P0​ 中点编号成点列

  x1,x2,⋯ ,xk,⋯ ,x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x1​,x2​,⋯,xk​,⋯,

  也就是说，P0P_0P0​ 中任一点必在上述点列中出现。显然，[0,1/3][0,1/3][0,1/3] 与 [2/3,1][2/3,1][2/3,1] 中应有一个不含有 x1x_1x1​，用 I1I_1I1​ 表示中国闭区间。将 I1I_1I1​ 三等分后所得的左右两个闭区间中，应有一个不含 x2x_2x2​，用 I2I_2I2​ 表示他。然后用 I3I_3I3​ 表示三等分 I2I_2I2​ 时不含 x3x_3x3​ 的左或右那个闭区间，如此等等…这样，根据归纳法，得到一个闭区间列 {Ik}k∈N\{I_k\}_{k\in N}{Ik​}k∈N​.由所述取法知，

  I1⊃I2⊃⋯Ik⊃⋯I_1\supset I_2\supset \cdots I_k\supset \cdotsI1​⊃I2​⊃⋯Ik​⊃⋯

  xk∉Ik,k∈Nx_k\notin I_k,k\in Nxk​∈/​Ik​,k∈N

  同时，易见 IkI_kIk​ 的长为 1/3k→0(k→∞)1/3^k\to 0(k\to \infty)1/3k→0(k→∞).由闭区间套定理，存在点 ξ∈Ik,k∈N\xi\in I_k,k\in Nξ∈Ik​,k∈N.又因为 ξ\xiξ 是 IkI_kIk​ 等端点的聚点，从而是闭集 P0P_0P0​ 的聚点，故 ξ∈P0\xi \in P_0ξ∈P0​。又因为 xk∉Ik.k∈Nx_k\notin I_k.k\in Nxk​∈/​Ik​.k∈N，所以 ξ≠xk,k∈N\xi\neq x_k,k\in Nξ​=xk​,k∈N。矛盾，所以 P0P_0P0​ 不可列。

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  2021年9月23日16:18:15

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