每件物品都有自己的重量和价值，但一件物品在不同背包的价值不同(关键词-背包问题)

Question

对于一个背包问题，有多个背包，每件物品都有自己的重量和价值，但一件物品在不同背包的价值不同，如何求解？

Answer 1

多背包问题（multiple knapsack problem），其中有多个背包，每个物品都有自己的重量和价值，并且每个物品在不同背包中的价值不同。求解多背包问题通常可以采用动态规划（dynamic programming）的方法。
以下是一种求解多背包问题的动态规划算法：

定义一个二维数组dp[n][m]，其中n表示物品的数量，m表示背包的数量，dp[i][j]表示在前i个物品中选择放入j个背包的最大价值。
初始化dp数组为0。

对于每个物品i，从第一个背包开始遍历，计算将物品i放入当前背包的最大价值，并将结果存储在dp[i][j]中。具体计算方法如下：

a. 对于第一个背包，dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i])，其中 Wi[i] 表示物品i的重量，Vi[i]表示物品i在当前背包中的价值。
b. 对于其他背包j，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i])。
最终结果存储在dp[n][m]中，即多背包问题的最优解。

需要注意的是，对于每个物品i，需要将其放入不同背包的最大价值进行比较，因此需要维护一个二维数组 dp 来存储这些结果。此外，由于物品的价值在不同背包中可能不同，因此需要针对每个物品和每个背包进行计算。

以下是对应于这个问题的C++代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0));

    vector<int> Wi(n+1), Vi(n+1);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> Wi[i] >> Vi[i];
    }

    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=1; j<=m; j++) {
            if(j == 1) {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]);
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]);
            }
        }
    }

    cout << dp[n][m] << endl;

    return 0;
}

以下是对应于这个问题的C代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

#define MAX_N 100000
#define MAX_M 100000

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int dp[MAX_N+1][MAX_M+1] = {0};
    int Wi[MAX_N+1], Vi[MAX_N+1];
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d %d", &Wi[i], &Vi[i]);
    }

    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=1; j<=m; j++) {
            if(j == 1) {
                dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]) ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i];
            } else {
                dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]) ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i];
            }
        }
    }

    printf("%d\n", dp[n][m]);

    return 0;
}