对于一个背包问题,有多个背包,每件物品都有自己的重量和价值,但一件物品在不同背包的价值不同,如何求解?
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- AICodeThunder 2023-09-29 09:40关注
多背包问题(multiple knapsack problem),其中有多个背包,每个物品都有自己的重量和价值,并且每个物品在不同背包中的价值不同。求解多背包问题通常可以采用动态规划(dynamic programming)的方法。
以下是一种求解多背包问题的动态规划算法:定义一个二维数组dp[n][m],其中n表示物品的数量,m表示背包的数量,dp[i][j]表示在前i个物品中选择放入j个背包的最大价值。
初始化dp数组为0。对于每个物品i,从第一个背包开始遍历,计算将物品i放入当前背包的最大价值,并将结果存储在dp[i][j]中。具体计算方法如下:
a. 对于第一个背包,dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]),其中 Wi[i] 表示物品i的重量,Vi[i]表示物品i在当前背包中的价值。
b. 对于其他背包j,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i])。
最终结果存储在dp[n][m]中,即多背包问题的最优解。需要注意的是,对于每个物品i,需要将其放入不同背包的最大价值进行比较,因此需要维护一个二维数组 dp 来存储这些结果。此外,由于物品的价值在不同背包中可能不同,因此需要针对每个物品和每个背包进行计算。
以下是对应于这个问题的C++代码:
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0)); vector<int> Wi(n+1), Vi(n+1); for(int i=1; i<=n; i++) { cin >> Wi[i] >> Vi[i]; } for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=1; j<=m; j++) { if(j == 1) { dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]); } else { dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]); } } } cout << dp[n][m] << endl; return 0; }
以下是对应于这个问题的C代码:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <math.h> #define MAX_N 100000 #define MAX_M 100000 int main() { int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); int dp[MAX_N+1][MAX_M+1] = {0}; int Wi[MAX_N+1], Vi[MAX_N+1]; for(int i=1; i<=n; i++) { scanf("%d %d", &Wi[i], &Vi[i]); } for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=1; j<=m; j++) { if(j == 1) { dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]) ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]; } else { dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]) ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-Wi[i]] + Vi[i]; } } } printf("%d\n", dp[n][m]); return 0; }
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