各位数字之和为12且数字中不含0的正整数有多少个？

Question

各位数字之和为12且数字中不含0的正整数有多少个？
1、答案是2040个，如果分析结果与之不同，就不用回答了；
2、不能用编程枚举的方法，请用数学方法分析计算，给出结果；
3、请不要用ChatGPT之类的工具来回答。

Answer 1

没有看到有效的回答。
想到插板法，分析求解相对简洁。列于此，供各位参考。
可以将本题转换为： 12个小球进行有序分组，每组最少1球，最多9球，有多少种方案？
先求总的方案数：
12个小球中有11个间隔，插入11个隔板，分成12组。有C(11,11)=1个方案；
插入10个隔板，分成11组，有C(11,10)=11!/10!/(11-10)!=11个方案；
插入9个隔板，分成10组，有C(11,9)=11!/9!/(11-9)!=55个方案；
插入8个隔板，分成9组，有C(11,8)=11!/8!/(11-8)!=165个方案；
插入7个隔板，分成8组，有C(11,7)=11!/7!/(11-7)!=330个方案；
插入6个隔板，分成7组，有C(11,6)=11!/6!/(11-6)!=462个方案；
插入5个隔板，分成6组，有C(11,5)=11!/5!/(11-5)!=462个方案；
插入4个隔板，分成5组，有C(11,4)=11!/4!/(11-4)!=462个方案；
插入3个隔板，分成4组，有C(11,3)=11!/3!/(11-3)!=165个方案；
插入2个隔板，分成3组，有C(11,2)=11!/2!/(11-2)!=55个方案；
插入1个隔板，分成2组，有C(11,1)=11!/1!/(11-1)!=11个方案；
上述合计，1+(11+55+165+330+462)*2 = 2047个。
第二步，计算组内小球多余9的方案：
含11个小球组，有11+1和1+11，2个方案；
含10个小球组，有10+1+1，1+10+1，1+1+10，2+10，10+2，5个方案；
上述合计，2+5 = 7个方案。

因此，一共有 2047-7 = 2040个方案。
即：各位数字之和为12且数字中不含0的数有 2040个。