2022÷2023 商的小数点后第 801～808 位是什么数字？

Question

2022÷2023 商的小数点后第 801～808 位是什么数字？
1、已编程计算，结果是 78101828；
2、求一个数学分析求解的方法；
3、请勿复制粘帖 AI 回答的内容。
谢谢！

Answer 1

只想到一个比较朴素的办法。
求2022÷2023 商的小数点后第 801～808 位，相当于求 2022 * 10^800 / 2023 的小数部分的前 8 位。设 2022 * 10^800 除以 2023 的余数为 x，则相当于求 x / 2023 的小数部分前 8 位。

现在来求余数 x。注意到

(a * b) mod c = ((a mod c ) * (b mod c)) mod c,
(a^n) mod c = (a mod c)^n mod c，

因此有

  (2022 * 10^800) mod 2023
= (2022 * 10000^200) mod 2023
= (2022 * 1908^200) mod 2023
= (2022 * (1908^2) ^ 100) mod 2023
= (2022 * 1087^100) mod 2023
= (2022 * (1087^2) ^ 50) mod 2023
= (2022 * 137^ 50) mod 2023
= (2022 * (137^2) ^ 25) mod 2023
= (2022 * 562^25) mod 2023
= (2022 * 562 * 562^24) mod 2023
= (1461 * 562^24) mod 2023
= (1461 * (562^2) ^ 12) mod 2023
= (1461 * 256^12) mod 2023
= (1461 * (256^2) ^ 6) mod 2023
= (1461 * 800^6) mod 2023
= (1461 * (800^2) ^ 3) mod 2023
= (1461 * 732^3) mod 2023
= (1461 * 732 * 732*2) mod 2023
= (1308 * 732*2) mod 2023
= (1308 * 1752) mod 2023
= 1580

再由 1580 / 2023 约为 0.7810182896688087，取前 8 位小数得 78101828